Теория Колмогорова (подход на основе теории меры)

Аксиоматика современной теории вероятностей была предложена Андреем Николаевичем Колмогоровым [74| в 1933 году, чтобы обеспечить строгое математическое описание этой теории. Основы для колмогоровской аксиоматики была подготовлены к началу прошлого столетия во Франции исследованиями Борсля [15] — [1С| и Фреше [40] о подходе к вероятности на основе теории меры. В то же время Колмогоров пользовался идеями фон Мизеса [86| о частотном определении вероятности (см. замечания в [74]).

Согласно аксиоматике Колмогорова, вероятностное пространство определяется как тройка V = (П,/ Р), где И — произвольное множество (точки uj из П называют элементарными событиями), Т — произвольная <�т-алгебра подмножеств множества П (элементы Т называются событиями), Р — <7-аддитивная мера на алгебре Т, которая принимает значения из отрезка [0,1] действительной прямой и нормирована условием Р (П) = 1.

Случайные величины на V определяются как измеримые функции f: (П, J⁷) —> (R, В), где В — борелевская <7-алгебра множеств на действительной прямой^[1]. Мы будем использовать символ RV (P) (от англ, random variables) для обозначения пространства случайных величин над V. Распределение вероятностей случайной величины? € RV (V) определяется как Ре (В) = Р(?~¹(В)) для всех В € В. Это а-аддитивная мера, заданная на борелевской гг-алгебре.

А. Н. Колмогоров мотивировал аддитивность вероятности аддитивностью частотной вероятности (см. формулу (3.3)); он также пользовался доводами частотной теории когда брал отрезок [0,1] в качестве области значений вероятностной меры. С другой стороны, условие <�г- аддитивности рассматривалось Колмогоровым как дополнительное математическое (техническое) условие, которое необходимо для обеспечения плодотворной теории интегрирования, основанной на интеграле Лебега. В действительности, Колмогоров начинал с конечно-аддитивных вероятностей, определённых на алгебрах множеств. Пространства с а- аддитивными вероятностями, определёнными на^{-алгебрах} назывались обобщенными вероятностными пространствами.

Колмогоровская теория также содержит дополнительное аксиоматическое определение условных вероятностей. Согласно определению вероятность Р(В/А) определяется по формуле (2.4). Колмогоров не дает никакой мотивировки для этого определения в своей книге [74). Тем не менее, поскольку он дал ясную мотивировку всем остальным свойствам вероятности Р на основе частотной теории фон Мизеса, видимо, он использовал те же самые доводы этой теории для равенства (2.4). В колмогоровской модели два события Ли В называются независимыми, если.

или

В рамках общепринятой теории интегрирования по Лебегу мы начинаем с (Г-аддитивной меры ц, определённой на некоторой алгебре F, а затем мера // продолжается на а-алгебру Т порожденную алгеброй F (борелевскую <7-алгебру). Эта процедура продолжения, которая хорошо определена с математической точки зрения, не так невинна с вероятностной точки зрения. Колмогоров отмечал: «Даже если множества (события) А из набора F могут интерпретироваться как фактически существующие и (возможно отчасти) наблюдаемые события, то из этого, конечно же, не следует что для множеств из набора Т разумно допускать такую интерпретацию. Таким образом не исключена возможность, что хотя поле вероятностей (F, Р) может рассматриваться как образ (всё таки, идеализированный) действительно случайных событий, расширенное поле вероятностей (F, Р) будет оставаться чисто математической структурой. Таким образом, множества из набора J- являются лишь идеальными событиями, которым ничего не соответствует в реальном мире. Однако, если рассуждение, которое использует вероятности таких идеальных событий, приводит нас к определению вероятности действительных (реальных) событий из набора F, тогда, с эмпирической точки зрения, это определение автоматически потерпит неудачу, будучи противоречивым», см. [74|, с. 17. Следует заметить, что приверженцы колмогоровского подхода к теории вероятностей на основе теории меры не обращают особого внимания на эти высказывания Колмогорова. Это привело к тому, что действия с абстрактными вероятностями событий, принадлежащих алгебре F, рассматривались как действительные вероятностные исследования. Более того, если мы не обращаем внимания на различия между действительными и абстрактными вероятностями, то мы можем, в принципе, опустить конкретную вероятностную модель в наших рассуждениях и оперировать с ‘событиями¹ принадлежащими абстрактным <�т-алгебрам. Это основная проблема всемирно используемого (колмогоровского) подхода на основе теории меры.

Замечание 4.1. Например, Крамер, который использовал аксиоматику Колмогорова для создания математической теории статистики, имел иную точку зрения на проблему проверки (верификации): «любая вероятность, предписанная специфическому событию, должна, в принципе, подлежать проверке» [23]. Вопрос о проверке (верификации) был краеугольным камнем теории фон Мизеса для континуального множества меток 5. Он показал, что в случае когда L_x = R (или R'*) вероятностная мера события Е имеет частотную интерпретацию тогда и только тогда, когда мера границы множества Е равна нулю, [88].

С другой стороны, Колмогоров сам активно развивал точку зрения, что теория вероятностей это чисто математическая теория. А значит, конкретная структура набора, алгебра это или бт-алгебра, не играет никакой роли в вероятностных рассуждениях. В своем манифесте «Общая теория меры и исчисление вероятностей», 1929 1юд (см. [99]), он писал: «Чтобы очертить контекст теории, достаточно выделить из теории вероятностей те элементы, которые допускают присущую ей логическую структуру и не имеют ничего общего со специфическим значением теории».

В конце отметим, что в колмогоровском подходе формула Байеса (2.4) является всего лишь определением условной вероятности. Я люблю подчеркивать этот факт, поскольку на собственном опыте убедился, что большинство ученых, работающих с приложениями теории вероятностей, уверены в том, что формула Байеса это теорема. Но это верно только с точки зрения теории ансамблей и частотной теории. С другой стороны, формула полной вероятности (2.8) является теоремой колмоюровской теории. Она остаётся верной и для счётного семейства множеств Ak € Т', Р (А*,.) > 0, к = 1,…, таких, что = П и А* П Ai = 0, к ^ I :

для любого С € J⁷, Р© = ^(Ak^iC/Ak). Для того, чтобы получить эту формулу нам нужно использовать <�т-адцитивность вероятности и определение (формулу Байеса) условной вероятности.

• [1] Таким образом, ?~1(В) € .7″ для любого В € В.