Методика численного моделирования спектрометрических газочувствительных сенсорных систем

Загрязнение атмосферы стало одной из основных проблем современной цивилизации. Выхлопные газы двигателей внутреннего сгорания содержат целый ряд высокотоксичных веществ, таких как окись углерода, углеводороды, окислы азота и др. Концентрации этих веществ в атмосфере неуклонно растут вследствие увеличения числа автомобилей [1]. В результате актуальной задачей является разработка комплексных газоанализаторов, удовлетворяющих современным требованиям по быстродействию и точности, стабильно функционирующих в условиях возмущающих факторов внешней среды. При этом одним из основных этапов разработки газочувствительных сенсорных систем является математическое моделирование, обеспечивающее сокращение сроков и стоимости проектирования сенсорных элементов, а также повышение эффективности проводимых экспериментальных исследований.

Принцип функционирования рассматриваемого в данной работе спектрометрического газочувствительного сенсора схематически представлен на рис. 1 [2].

Рисунок 1 — Принцип функционирования спектрометрического газочувствительного сенсора В качестве излучателя-приемника инфракрасного (ИК) излучения используется полупроводниковый терморезистор. В качестве отражающего зеркала — металлическая крышка корпуса интегральной сенсорной микросистемы. Конструкция корпуса должна обеспечивать доступ атмосферного воздуха в объем между поверхностью микросистемы и внутренней (отражающей) поверхностью крышки (зеркала).

В режиме измерения через полупроводниковый терморезистор пропускается стабильный ток, определяющий температуру поверхности излучателя и, соответственно, интенсивность I₀ испускаемого ИК-излучения. Проходя через газ, заполняющий пространство между поверхностями излучателя и зеркала, определенная часть излученной энергии поглощается, причем доля поглощенной энергии зависит от концентрации анализируемого вещества в составе газовой смеси. В результате на поверхность излучателя-приемника будет возвращаться часть потока ИК-излучения интенсивностью I₁ < I₀, что приводит к изменению температуры и, следовательно, сопротивления излучателя-приемника. При постоянном токе через терморезистор изменение его сопротивления приведет к соответствующему изменению падения напряжения и, как следствие, к изменению интенсивности излучения I₀, что приводит к возникновению положительной обратной связи, обеспечивающей повышение чувствительности сенсорной микросистемы. После установления термодинамического равновесия при новом значении концентрации поглощающего вещества в газовой смеси, напряжение на излучателе-приемнике будет определять значение анализируемой концентрации.

Основой сенсора является терморезистор, через который пропускается стабильный ток. Протравленный канал, отделяющий излучатель-приемник от подложки, предусмотрен для увеличения теплового сопротивления терморезистора на подложку. Кроме того, поверхность протравленного канала выполняет роль второго отражающего зеркала, на которое попадает ИК-излучение с нижней поверхности терморезистора, что обеспечивает повышение чувствительности микросенсора.

газочувствительная сенсорная система математическое моделирование Повышение селективности микросенсора достигается посредством выполнения перфорации терморезистора отверстиями, диаметр которых соответствует длине волны, на которой наблюдается максимум спектра поглощения анализируемого вещества в составе газовой смеси.

Целью моделирования является определение зависимости напряжения на излучателе-приемнике от концентрации молекул анализируемого вещества в составе газовой смеси с учетом основных параметров микросенсора:

• — электрофизических параметров полупроводника;
• — геометрических размеров резистора (излучателя-приемника);
• — концентрации легирующей примеси в излучателе-приемнике;
• — коэффициента поглощения зеркала;
• — тока, протекающего через излучатель-приемник.

Основой оптических методов определения концентрации газовых компонент является обобщенный закон Бугера-Ламберта-Бера [3]:

(1).

где I₁ - интенсивность прошедшего через газовую среду излучения; I_0 — интенсивность излучения источника; k_щ - показатель поглощения на частоте щ; z — оптический путь или расстояние до источника.

Предполагается, что толщина терморезистора D значительно меньше его длины L и ширины W. При этом площадь боковых поверхностей резистора значительно меньше площади верхней и нижней поверхностей, поэтому с достаточной степенью точности теплопередачей через боковые поверхности в рассматриваемой задаче можно пренебречь.

Принимая во внимание низкую теплопроводность атмосферного воздуха и малые расстояния между поверхностями терморезистора и отражающими зеркалами, теплопередачу посредством конвекции и кондукции с верхней и нижней поверхностей терморезистора можно не учитывать. С учетом принятых допущений, при решении задачи численного моделирования сенсора можно ограничиться двумя пространственными измерениями. Нестационарное распределение температуры во внутренних точках области решения задачи определяется уравнением теплопроводности:

(2).

где x, y — координаты; - плотность полупроводника; С — удельная теплоемкость полупроводника; T — абсолютная температура; t — время; - удельная теплопроводность полупроводника; P — мощность, потребляемая терморезистором; L — длина терморезистора; W — ширина терморезистора; D — толщина терморезистора.

В начальный момент времени t_min температура терморезистора определяется температурой подложки T₀:

. (3).

На границах, соединяющих терморезистор с подложкой, задаются граничные условия первого рода:

; (4). (5).

С учетом принятых допущений об отсутствии кондукции и конвекции через верхнюю и нижнюю грани терморезистора, теплопередача через данные поверхности происходит посредством излучения и описывается законом Стефана-Больцмана [3]:

(6).

где с₀ - коэффициент лучеиспускания абсолютно черного тела; е — относительная излучательная способность или степень черноты тела; W_T - плотность теплового потока.

В соответствии с принципом функционирования микросенсора, законом Бугера-Ламберта-Бера (1) и законом Стефана-Больцмана (6), на верхней и нижней гранях терморезистора задаются граничные условия третьего рода, определяющиеся выражениями:

; (7).

(8).

где.

R_H, R_B — коэффициенты отражения верхнего и нижнего зеркал; с — относительное содержание анализируемого компонента в газовой смеси; d_H, d_B — расстояния от излучающих поверхностей терморезистора до верхнего и нижнего зеркал; - коэффициент поглощения.

Проводя дискретизацию уравнений (2) — (8) на координатной сетке.

(9).

и сетке по времени.

(10).

а также выражая плотность мощности в правой части уравнения (2) через силу тока и удельное сопротивление полупроводника, получим:

(11).

. (12).

; (13).

. (14).

(15).

(16).

где e — элементарный заряд; x — шаг координатной сетки по оси x; y — шаг координатной сетки по оси y; t — шаг сетки по времени; с — относительное содержание анализируемого компонента в газовой смеси; I_R — сила тока; N — концентрация легирующей примеси в терморезисторе; m — усредненное отношение площадей поперечного сечения терморезистора с перфорацией и без перфорации; _{i, j, k} — сеточная функция подвижности носителей заряда; T_{i, j, k} — сеточная функция температуры.

Дискретная модель (11) — (16) представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений, требующую применения итерационных методов решения. Предложенная методика численного решения состоит в следующем:

• 1⁰. Ввод исходных данных;
• 2⁰. Задание требуемого значения невязки ;
• 3⁰. Генерация координатной сетки (9) и сетки по времени (10);
• 4⁰. Определение текущего распределения температуры в терморезисторе в соответствии с начальным условием (12);
• 5⁰. Нахождение распределения подвижности носителей заряда и правой части уравнения теплопроводности (11);
• 6⁰. Определение правых частей граничных условий (15), (16);
• 7⁰. Определение нового приближения к распределению температуры посредством численного решения системы алгебраических уравнений (11) — (16), которая с учетом определенных в пп.5⁰ и 6⁰ правых частей уравнений (11), (15), (16) становится линейной;
• 8⁰. Определение невязки в соответствии с выражением:

(17).

где q — порядковый номер итерации;

• 9⁰. Если выполняется неравенство >, найденное нестационарное распределение температуры считается текущим и осуществляется переход к п.5⁰, в противном случае — переход к п.10⁰;
• 10⁰. Повторение пп.4⁰ — 9⁰ для всех исследуемых значений относительного содержания анализируемого компонента в газовой смеси;
• 11⁰. Определение и вывод зависимости изменения напряжения на терморезисторе от относительного содержания анализируемого компонента в газовой смеси, определение чувствительности, времени установления в рабочий режим и времени отклика микросенсора.

Разработанные модель и методика численного моделирования позволяют проводить детальный анализ влияния различных параметров газочувствительного микросенсора на его выходные характеристики, что дает возможность рассматривать предложенные модель и методику в качестве основы для соответствующих систем автоматизированного проектирования газочувствительных спектрометрических микросистем.

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14. А18.21.2052 «Разработка технологии формирования наноструктурированных материалов и гибридных сенсорных систем на их основе» .

газочувствительная сенсорная система математическое моделирование.

• 1. Д. О. Горелик; Л. А. Конопелько. Мониторинг загрязнения атмосферы и источников выбросов: Аэроаналитические измерения. — М.: Изд-во стандартов, 1992. — 432с.
• 2. Дж. Фрайден. Современные датчики. Справочник. — М.: Техносфера, 2005. — 592 с.
• 3. Х. Кухлинг. Справочник по физике. — М.: Мир, 1982. — 520 с.