Механические колебания. 
Прикладная физика. 
Механика. 
Электромагнетизм

СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

Математическое описание системы с одной степенью свободы строится следующим образом:

• 1) Выбираем координату q, которая будет определять положение системы (обобщенная координата). Движение системы описывается функцией q = q (t), которую надо найти.
• 2) Выражаем кинетическую энергию W_K системы через обобщенную скорость q (точка означает производную по времени). При удачном выборе координаты получим W_K = м²/2, где константа ц, играющая роль массы, определяется устройством системы.
• 3) Находим работу 5/1 внешних сил при малом смещении системы dq : 5/1 = Q dq. Коэффициент пропорциональности Q между работой и смещением, который появится при вычислении работы, называется обобщенной силой. Закон сохранения энергии дает равенство dW_K = 5/1 = Qdq (потенциальная энергия, связанная с деформацией упругих тел, в системах с одной степенью свободы не проявляется). Отсюда = Qq, iq— = Qq, p^-f- = Q. Получаем урав-

dr dr dr.

нение, соответствующее второму закону Ньютона для частицы.

Особый интерес представляет динамика системы с одной степенью свободы, когда обобщенная сила зависит лишь от координаты: Q ~ (Кч) — В этом случае элементарная работа есть дифференциал некоторой функции координаты: 6A=Q[q)dq=-dW_n{q), Q=-dW_n/dq. Равенство d W_K = 5Л = — d W_a принимает вид d (W_t + WJ = 0, откуда следует, что fV_K + W_a — E = const. Это — закон сохранения энергии:

Функция W_n(q) представляет потенциальную энергию системы (это энергия взаимодействия системы с окружающими телами). Величина Е — полная энергия системы.

Задача 4.1. Через невесомый блок, который может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, перекинута нить массой т и длиной /, к концам которой прикреплены грузы массами /л, и т_у Чему равна обобщенная сила и потенциальная энергия системы (рис. 4.1)?

Рис. 4.1

Решение. В качестве обобщенной координаты выберем длину 5 одного из свешивающихся кусков нити, к которому прикреплена масса т_у q = s. Система состоит из грузов, нити и блока. На элементы системы действуют сила тяжести и сила, удерживающая ось. При малом перемещении ds сила тяжести совершает работу.

где R — радиус блока. (Суммарная работа сил тяжести, действующих на элементы нити, лежащие на блоке, равна нулю.) Таким образом, для обобщенной силы находим.

Отсюда.

Закон сохранения энергии позволяет найти скорость как функцию координаты:

Выражение в скобках в правой части (4.2) представляет кинетическую энергию системы. Очевидно, должно быть Е > W_n(q), что накладывает ограничения на область изменения координаты q. Если потенциальная энергия имеет вид, представленный на рис. 4.2, а полная энергия Е не слишком велика, то возможные значения q лежат в областях q_{< q< q_v q> q_y Если в начальный момент система находится в точке q_t, скорость в этот момент равна нулю. Далее координата и скорость начинают возрастать, скорость определяется формулой (4.2). Скорость достигает максимума в точке q₀ и далее убывает до нуля в точке q_v после чего система движется в обратном направлении до q_{. Далее все повторяется. Такое движение называется колебанием. Если в силу начальных условий система оказалась в рассматриваемой области, то выйти из нее она не может. Говорят, что система находится в потенциальной яме (см. рис. 4.2). (Речь идет о макроскопической системе. В атомных масштабах имеется отличная от нуля.

Рис. 4.2.

вероятность того, что система выйдет из этой области в область q > q_y) Если система находится в потенциальной яме, то она совершает колебательное движение. Для макроскопических систем закон сохранения энергии, строго говоря, не выполняется. За счет сил трения полная энергия Еубывает и переходит во внутреннюю энергию системы и окружающих тел, амплитуда колебаний убывает (колебания затухают), и в конечном итоге система останавливается в положении q₀ (положение равновесия).