Если источник поля не обладает одной из рассмотренных симметрий, интегральное уравнение не позволяет найти поле. В этом случае нужны другие подходы.
Закон Био—Савара
Имеем участок проводника с током (рис. 8.12). Как найти поле, создаваемое этим участком, в произвольной точке?
Разобьем проводник на маленькие элементы. Пусть А/, — один из таких элементов. Направление вектора А/, совпадает с направлением тока. Проведем из элемента А/, вектор, А г. в точку, в которой ищем поле. Элемент А/, создает в этой точке поле с индукцией АВп равной.
Рис. 8.12.
Рис. 8.13.
Полное поле в рассматриваемой точке найдем суммированием полей от всех элементов проводника (рис. 8.13):
Тот же рецепт в интегральной форме:
Это и есть закон Био—-Савара. Он является следствием уравнений (8.1), (8.2).
Поле кругового витка с током
Мы найдем поле лишь на оси симметрии (рис. 8.14). Разбиваем виток на элементы d/. Имеем:
Рис. 8.14.
/ — единичный вектор вдоль оси х. Далее, В = Jd В = Jd BL + jd Br При интегрировании, как легко видеть, Jdi^ =0 и.
Учтено, что а, г — постоянны для всех точек кольца (именно поэтому мы ограничились точками на оси симметрии; для произвольной точки интеграл вообще не берется в элементарных функциях). Так как sin, а = R/^R2 +х2, окончательно получим.