Работа и энергия

Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл

Если точка приложения силы (F=сonst) совершает элементарное перемещение (рис. 3.1), то сила F совершает элементарную работу.

.

(3.1).

где - угол между векторами и .

F_n

численным значением и поэтому представляет собой величину скалярную. Произведение модулей векторов и на косинус угла между ними называется скалярным произведением векторов и обозначается как.

.

Из равенства (3.1) следует, что работа представляет собой скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения.

. (3.2).

В зависимости от угла работа может быть положительной (), отрицательной () и равной нулю ().

Пусть на тело одновременно действует несколько сил, результирующая которых равна.

.

Работа, совершаемая результирующей силой на пути ds, запишется в виде.

.

т. е. работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершенных каждой из сил в отдельности.

В выражении (3.2) заменим элементарное перемещение, получим выражение для элементарной работы в виде или.

(3.3).

где F — проекция вектора силы на направление скорости.

Интегрируя (3.3) найдем выражение для работы, совершаемой за промежуток времени от t₁ до t₂

.

Аналогично, заменив скалярное произведение в выражении (3.2) и взяв интеграл, получим, что.

. (3.4).

С ч1 В ч2 Щ И У Рисю.	Рассчитаем работу, которую совершает упругая сила, при перемещении тела из точки С в точку В по различным путям (рис. 3.2). Работа на участке пути СDВ согласно (3.1) и (3.4) равна. ;

.

На участке СD косинус угла между направлением силы и перемещения равен 1, так как ||, на участке DВ сила перпендикулярна перемещению и косинус угла равен нулю. Поэтому работа упругой силы на участке СDВ определяется интегралом.

(3.5).

Работа упругой силы на участке СЕВ равна.

;

;

(3.6).

так как косинус угла между направлением силы и перемещением равен 1 на участке ЕВ и нулю на участке СЕ.

Сопоставляя выражения (3.5) (3.6) можно сделать вывод, что работа упругой силы не зависит от пути, по которому произошло перемещение, а определяется только положением начальной и конечной точек перемещения.

Из определения работы (3.1) можно установить единицы её измерения. В системе СИ единицей работы является джоуль (Дж):

[А]=Дж=Нм.

Джоуль — это работа силы в 1 Н на пути 1 м.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью:

или ,.

где dA — работа, совершаемая за время dt.

Единица мощности в системе СИ — ватт (Вт):

.

Приняв во внимание, что есть скорость, получим.

.

Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки приложения силы.