Исследование систем управления

Министерство науки и образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный университет»

(научно-исследовательское учреждение) Факультет «Экономики и предпринимательства»

Кафедра «Предпринимательства и менеджмента»

КУРСОВАЯ РАБОТА

5 вариант

«Исследование систем управления»

Руководитель

________________Я.Д. Гельруд Автор работы Студент группы ЭиП-479

_________________М.А. Жукова

1 УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ Построить фрагмент сетевого графика согласно заданного порядка предшествования.

A<

E, B <

C, D << G, H

H<

Расчет временных параметров сетевой модели и приведение критического времени к заданному сроку Рассчитать временные параметры

— ранние сроки свершения событий;

— поздние сроки свершения событий;

Ткр — критическое время и определить критический путь (КП);

— полные резервы работ;

— свободные резервы работ;

Привести Ткр к Тдир Выполнить перерасчет временных параметров.

Вычертить календарный график работ в ранние сроки (линейную диаграмму).

Расчет временных параметров сетевой модели и приведение критического времени к заданному сроку. T_дир.= 44.

Рисунок 1 — Исходная сетевая модель Таблица 1 — Таблица

По данным таблицы 1 построим график Гантта.

Рисунок 2 — График Гантта Теперь необходимо привести сетевой график к заданному (директивному) сроку. Т^дир =44, разница между длиной критического пути и директивного: = 50 — 44 = 6. Значит, необходимо на 6 дней сократить длину критического пути. Если производственная ситуация позволяет, сократим длину работы критического пути (3−4) на 1 день, сдвинется начало работы (4−17). Эту работу сократим еще на 5 дней. Из-за этого произойдет сокращение работы (10−11) на два дня и работы (11−9) на 2 дня. Благодаря резервам на других работах, которые могут выполняться параллельно с некритическим, но не имеющими резервов, производственный план это не нарушит. Теперь путь, в который входят работы (10−11), (11−9) и (9−17) станет подкритическим. В итоге длина критического пути сокращается на 6 дней. График Гантта примет следующий вид.

Рисунок 3 — График Гантта Сетевая модель с сокращенным критическим путем:

Рисунок 4 — Конечная сетевая модель

2. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ Задача 2.1

управление проект запас моделирование Построить детерминированную статическую модель с дефицитом.

Вычислить q* - оптимальный объем заказа,

ts* - оптимальный интервал времени между заказами,

C* - минимальные ожидаемые суммарные расходы за весь период.

Построить простую вероятностную модель (II).

Вычислить s* - оптимальный уровень запаса.

Таблица 3 — данные для решения задачи.

Решение

1. q* = 2 с₁/ с₂ (с₂ + с₃)/ с₃ (1)

q* = 2*350*50/ 100 (100 + 550)/ 550 =20,34 ед.

t_s* = q* / (2)

t_s* = 20,34/50 = 0,4 дня.

Т=2с₁с₂с₃ /(с₂ + с₃) (3)

C*= 37 556 886 руб.

s = qс₃ /(с₂ + с₃) (4)

s = 20,34*550/650=17,21 ед.

Рисунок 5 — Кривая запасов. Модель с дефицитом.

2. Простая вероятностная модель Эмпирическая вероятность ® — это доля случаев, когда спрос равен с₃ /(с₂ + с₃). Подсчитаем значение с₃ /(с₂ + с₃) = 550/(100 + 550) = 0.85.

0,78? S? 0,92 => S = 18.

3. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Задача 3.1

Построить две модели многоканальной системы массового обслуживания — с бесконечной и ограниченной очередью. Вычислить Р₀ — вероятность простаивания всех каналов обслуживания, n_w — среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, t_w — среднее время ожидания обслуживания, W — вероятность обязательного пребывания в очереди.

1. С неограниченной очередью Для данной модели расчетные формулы имеют вид:

Р_n = Р₀()ⁿ / n (n s), (5)

Р_n = Р₀()ⁿ / s/s^n-s (n s), (6)

(7)

= 12/14=0,86.

Для — среднее число клиентов, ожидающих обслуживания:

= Р₀(/)^s+1/(s-1)/(s-/)², (8)

=0,4*0,86³/1! /(2−0,86)²=0,25

для общего числа клиентов, находящихся в системе, имеем

n = +/, (9)

для — среднее время ожидания обслуживания:

=/. (10)

=0,25/12=0,21 часа Вероятность обязательного пребывания в очереди равна вероятности занятости всех каналов обслуживания. Обозначим ее через W. Тогда

W= Р₀*^s/s. (11)

W=0,4 * 0,86 ²/2≠ 0,15 часа.

Таким образом, при данных условиях 40% времени система простаивает, среднее время ожидания обслуживания составляет 12,6 минут.

2. С ограниченной очередью.

/?s, (13)

— вероятность простоя всех каналов обслуживания.

Для — среднее число клиентов, ожидающих обслуживания:

=Р₀(/)^s+1(1-(/s)^k-k (/s)^k(1-/s))/(s-1)/(s-/)², /?s, (14)

= 0,4*0,86³*(1-(12/14*2)⁴-4*(12/14*2)⁴*(1−12/14*2))/1!/(2−0,86)²=0,256*1,4 352/0,77=0,35 — среднее число клиентов ожидающих обслуживания.

для — среднее время ожидания обслуживания:

=//(1- Р_k+s). (15)

=0,35/12/0,14=0,21 часа.

4. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Пусть расходы, связанные с приобретением и заменой оборудования по периодам, представлены в таблице, r — учетный процент в течение каждого периода. Определить срок замены оборудования без учета и с учетом коэффициента дисконтирования Таблица 4 — с учётом коэффициента дисконтирования

В данном случае замена оборудования должна производиться в пятый период, т.к. наименьшая средневзвешенная = 15,1.

Таблица 5 — без учёта коэффициента дисконтирования

В данном случае замена оборудования должна производиться в десятый период, т.к. наименьшая средневзвешенная = 7,6.

5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ НА ЭВМ Задача 5.1

Задание:

Сколько килограммов каждого вида комбикорма нужно каждому животному, чтобы полученная смесь имела минимальную стоимость? Составить математическую модель ЗЛП и решить ее на ЭВМ, провести анализ решения. Значение параметра a соответствует номеру своего варианта.

Решение:

Таблица 6 — решение из MO Excel

Ответ: для того, что бы полученная смесь имела минимальную стоимость необходимо производить 4,67 ед. корма, данные затраты составят 107,33 д.е.

Задача 5.2

На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1000+а, 1000+а и 9400+а кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часов. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны — в течение 16,25 часов. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22+а и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100+а т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Значение параметра a соответствует номеру своего варианта.

Решение:

Таблица 7 — решение из MO Excel

Ответ: необходимо производить 118,9 т молока и 1,8 т сметаны, при этом достигается максимальная прибыль равная 3808,504 ден. ед.

Задача 5.3

На швейной фабрике ткань может быть раскроена несколькими способами для изготовления нужных деталей швейных изделий. Пусть при 1-м варианте раскроя 100 м² ткани изготовляется 6 деталей 1-го вида, 8 деталей 2-го вида, 16 деталей 3-го вида, а величина отходов при данном варианте раскроя равна 3 м². При 2-м варианте раскроя 100 м² ткани изготовляется 4 деталей 1-го вида, 10 деталей 2-го вида, 8 деталей 3-го вида, а величина отходов при данном варианте раскроя равна 5 м². При 3-м варианте раскроя 100 м² ткани изготовляется 9 деталей 1-го вида, 8 деталей 2-го вида, 6 деталей 3-го вида, а величина отходов при данном варианте раскроя равна 2+а м². Зная, что деталей 1-го вида следует изготовлять 160+а штук, деталей 2-го вида следует изготовлять 110+а штук, деталей 3-го вида следует изготовлять 180+а штук, требуется раскроить ткань так, чтобы было получено необходимое количество деталей каждого вида при минимальных общих отходах.

Решение:

Таблица 8 — решение из MO Excel

Ответ: необходимо раскроить деталь так, что бы получалось X1=28 см куб., при этом достигается минимальное количество отходов равное 84 см куб.

Задача 5.4

Мебельный комбинат выпускает книжные полки, А из натурального дерева со стеклом, полки B1 из полированной ДСП (древесно-стружечной плиты) без стекла и полки B2 из полированной ДСП со стеклом. Габариты полок А, B1 и В2 следующие: длина 1100 мм, ширина 250 мм, высота 300 мм. Размер листа ДСП

220 X 300 см.

При изготовлении полок, А выполняются следующие работы: столярные, покрытие лаком, сушка, резка стекла, упаковка. Все операции, производимые в ходе столярных работ и упаковки, выполняются вручную. Полки B1 и В2 поставляются в торговую сеть в разобранном виде. За исключением операции упаковки, все остальные операции (производство комплектующих полки, резка стекла) при изготовлении полок B1 и В2, выполняются на специализированных автоматах.

Трудоемкость столярных работ по выпуску одной полки, А составляет 4 (Тр1) ч. Производительность автомата, покрывающего полки, А лаком — 10 (Пр1) полок в час, автомата, режущего стекло — 100 (Пp2) стекол в час.

Сменный фонд времени автомата для покрытия лаком — 7 (ФВ1) ч, автомата для резки стекла — 7,5 (ФВ2) ч. Сушка полок, покрытых лаком, происходит в течение суток в специальных сушилках, вмещающих 52 (V1) полок. На упаковку полки, А требуется 6 (Тр2) минуты. В производстве полок заняты 42 (Р1) столяров и 16 (Р2) упаковщиков.

Производительность автомата, производящего комплектующие полок B1 и В2, равна 3 (Пр3) полки в час, а его сменный фонд времени равен 7,4 (ФВ3) ч, трудоемкость упаковочных работ составляет 8 (Тр3) мин для полки В1 и 10 (Тр4) мин для полки В2.

От поставщиков комбинат получает в месяц 400 (Z1) листов полированной ДСП, 232 (Z2) листов ДВП (древесноволокнистой плиты), а также 262 (Z3) листов стекла. Из каждого листа ДВП можно выкроить 14 (К1) задних стенок полок B1 и В2, а из каждого листа стекла — 10 (К2) стекол для полок, А и В2.

Склад готовой продукции может разместить не более 350 (V2) полок и комплектов полок, причем ежедневно в торговую сеть вывозится в среднем 42 (N) полок и комплектов. На начало текущего месяца на складе осталось 12 (Ост) полок, произведенных ранее. Себестоимость полки, А равна 207 руб., полки В без стекла — 142 руб., со стеклом — 160 руб.

Маркетинговые исследования показали, что доля продаж полок обоих видов со стеклом составляет не менее 60% (Д) в общем объеме продаж, а емкость рынка полок производимого типа составляет около 5300 (V3) штук в месяц. Мебельный комбинат заключил договор на поставку заказчику 50+а (З) полок типа В2 в текущем месяце.

Составьте план производства полок на текущий месяц. Известны цены реализации полок: полка, А — 295 руб., полка В без стекла — 182 руб., полка В со стеклом — 222 руб.

Решение:

Данная задача решается в два этапа:

1. Определение количества комплектов для полок В1 и В2.

2. Решение всей задачи полностью, используя полученное значения из пункта 1 для ввода его в ограничение.

Этап 1.

Рассмотрим вопрос раскроя листов ДСП для получения максимального количества комплектов для полок В1 и В2.

1 вариант раскроя: 19 верхних и нижних стенок, 9 боковых стенок.

2 вариант раскроя: 12 верхних и нижних стенок, 40 боковых стенок.

3 вариант раскроя: 16 верхних и нижних стенок, 21 боковая стенка.

1 2 3

Рисунок 4 — способы раскроя Ограничения по задачи

;

Таблица 9 — решение из MO Excel

Ответ: для того что бы получить максимальное количество комплектов необходимо 294 ДСП разрезать 1 способом и 106 листов ДСП разрезать вторым способом, при этом получиться 3429 комплекта деталей.

Этап 2

Ограничения по задачи:

Таблица 9 — решение из MO Excel

Ответ: в текущем месяце необходимо произвести 1144 полок, А и 118 полок В2, а производство полок В1 нецелесообразно. После реализации всех произведенных полок комбинат получит прибыль в размере 107 752 рублей.

6. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДЧИ Задание 2.1

Компания «Стройгранит» производит добычу строительной щебенки и имеет на территории региона три карьера. Запасы щебенки на карьерах соответственно равны 800, 900 и 600 тыс. тонн. Четыре строительные организации, проводящие строительные работы на разных объектах этого же региона дали заказ на поставку соответственно 300, 600, 650 и 500 тыс. тонн щебенки. Стоимость перевозки 1 тыс. тонн щебенки с каждого карьера на каждый объект приведены в таблице:

Необходимо составить такой план перевозки (количество щебенки, перевозимой с каждого карьера на каждый строительный объект), чтобы суммарные затраты на перевозку были минимальными.

Решение Таблица 9 — решение из MO Excel

Ответ: Составлен оптимальный план перевозки, мин затраты составляют 5900 д.е.

Задание 2.2

Цеху металлообработки нужно выполнить срочный заказ на производство деталей. Каждая деталь обрабатывается на 4-х станках С1, С2, С3 и С4. На каждом станке может работать любой из четырех рабочих Р1, Р2, Р3, Р4, однако, каждый из них имеет на каждом станке различный процент брака. Из документации ОТК имеются данные о проценте брака каждого рабочего на каждом станке:

Необходимо так распределить рабочих по станкам, чтобы суммарный процент брака (который равен сумме процентов брака всех 4-х рабочих) был минимален. Чему равен этот процент?

Решение Таблица 9 — решение из MO Excel

Ответ: данные рабочие распределены оптимально, суммарный процент брака равен 8,3%.

7. ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Задание 4.1

Решить методом последовательных уступок двухкритериальную задачу, представленную математической моделью:

Z₁=x₁ -3x₂ > max;

Z₂=2x₁ -2x₂ > min;

3x₁ + 5x₂ ?2,

x₁ +x₂ ?11,

x₁-x₂? -1,

x₁, x₂ ?0.

Уступка по первому критерию оптимизации d1=2.

Таблица 10 — решение из MO Excel

Задание 4.2

F₁(x, y) = 12 + 2x + 29

F₂ = 6 + 29x + 2y

2х+у ?8;

5х+ 4у ?40;

0?х ?6; у?0.

D=3 д.е.

Таблица 11- решение из MO Excel

Ответ: затраты на модернизацию составят 6 д.е., а затраты на научные исследования составят 0,03 д.е. при этом минимальная себестоимость составит 19 д.е., а качество поднимется до 180.

Задание 4.3

Решить методом последовательных уступок двухкритериальную задачу, представленную математической моделью:

Z₁=2x₁ + x₂ — 5x₃> max;

Z₂= 3x₁ + 2x₂ — 4x₃> min;

4x₁ + 6x₂ +5x₃?2,

— 2x₁ +x₂ -3x₃?27,

6x₁ + 5x₂ ?75,

2x₁ + 3x₃ ?3,

x₁, x₂, x₃ ?0.

Уступка по первому критерию оптимизации d1=2

Таблица 11- решение из MO Excel

Задание 4.4

Решить методом последовательных уступок трехкритериальную задачу, представленную математической моделью:

Z₁= -x₁ +3 x₂ — 2x₃> min;

Z₂= -3x₁ + 2x₂ — x₃> max;

Z₃=x₁ + 2x₂ +4x₃> max;

3x₁ + 2x₂ +2x₃?1,

x₁ +2x₂ +x₃?19,

2x₁ + 3x₂ ?21,

x₁, x₂, x₃ ?0.

d1=6, d2=4.

Таблица 12- решение из MO Excel

8 ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ИГР Задача 8.1

Прямая и двойственная задачи линейного программирования имеют вид:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ >min;

5x₁ + 3x₂ + 4x₃ + 6x₄ + 7x₅ ?1;

6x₁ + 8x₂ + 2x₃ + 3x₄ + x₅ ?1;

3x₁ +5x₂ +7x₃ +2x₄ +8x₅ ?1;

9x₁ +2x₂ +6x₃ + 5x₄ +3x₅ ?1;

x_i ?0; i=1,2,3,4,5.

y₁ + y₂ + y₃ + y₄ >max;

5y₁ + 6y₂ + 3y₃ + 9y₄ ?1;

3y₁ + 8y₂ + 5y₃ + 2y₄ ?1;

4y₁ + 2y₂ + 7y₃ +6y₄ ?1;

6y₁ + 3y₂ + 2y₃ + 5y₄ ?1;

7y₁ + y₂ + 8y₃ + 3y₄ ?1;

y_j?0; j=1,2,3,4.

Решение Таблица 12- решение из MO Excel, для первого игрока

Таблица 13- решение из MO Excel, для второго игрока

Задание 5.2

Директор предприятия, А заключает договор с конкурирующей фирмой В о реализации своей продукции на конкретной территории областного центра. Конкурирующие стороны выделили пять районов области. Каждая из них может развивать свое производство в этих пяти районах: A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ — для стороны, А и B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ — для В. Вероятности успеха для стороны, А приведены в платежной матрице:

Определить оптимальные стратегии для каждой стороны.

Решение Таблица 14- решение из MO Excel, для первого игрока

Таблица 15- решение из MO Excel, для второго игрока

Задание 5.3

Решить игру, описанную платежной матрицей для обоих игроков (матрица приведена для игрока А).

Решение

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ >min;

y₁ + y₂ + y₃ + y₄ >max;

Таблица 16- решение из MO Excel, для первого игрока

Таблица 17- решение из MO Excel, для второго игрока