Системы эконометрических уравнений. 
Обобщения метода наименьших квадратов

Системы взаимосвязанных {одновременных) уравнений. Экзогенные и энлогенные переменные. Необхолимость использования систем /равнений в описании инновационных процессов. Примеры моАелей инновационных процессов с учетом госуларственного регулирования. Структурная и приведенная форма модели. Проблема НАентифицируемости. Условия иАентификации. МетоАы оценивания систем регрессионных уравнений. Косвенный метоА наименьших кваАратов. Авухшаговый метод наименьших кваАратов.

Системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений

Во многих случаях взаимосвязи факторов инновационного процесса допускают моделирование одним уравнением. Однако гораздо чаще сами факторы изменяются, и возникает необходимость моделирования не одного, а ряда взаимовлияющих процессов, что приводит к моделям не с одним, а с несколькими уравнениями, содержащими как повторяющиеся, так и собственные переменные. Таким образом, приходится моделировать инновационный процесс с использованием систем уравнений. Причем, в одних уравнениях определенная переменная будет объясняющей (независимой), но в то же время она может входить в другое уравнение как зависимая (объясняемая) переменная.

Выделяют три вида систем эконометрических уравнений.

Система независимых уравнений, в которой каждая зависимая переменная у рассматривается как функция только от предопределенных переменных х:

В системе рекурсивных уравнений в каждом последующем уравнении зависимая переменная представляется как функция от зависимых и переменных, возникающих в предшествующих уравнениях (предопределенных переменных):

В системах (139) и (140) каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно. Параметры таких уравнений можно определить с помощью традиционного метода наименьших квадратов (МНК).

В системе взаимозависимых (совместных, одновременных) уравнений зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть (т. е. выступают в роли признаков-результатов), а в других уравнениях — в правую часть системы (т. е. выступают в роли признаков-факторов):

В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный метод наименьших квадратов неприменим, т. к. нарушаются предпосылки, лежащие в основе метода наименьших квадратов.

• 1. Причинно-следственная зависимость между переменными в уравнении. В первом уравнении у, есть функция от у₂, во втором уравнении у₂ есть функция от у у.
• 2. Факторы в такой системе мультиколлинеарны. Как следует из 2-го уравнения системы, у₂ зависит от х₁. Но в других уравнениях системы признаки у₂ и х, фигурируют как факторные (объясняющие переменные).
• 3. Случайные составляющие оказываются коррелированными с объясняющими переменными.

Таким образом, нарушается предпосылка о нестохастичности объясняющих переменных. В результате оценки параметров получаются смещенными и несостоятельными.

Рассмотрим порядок моделирования спроса на инновации. Даже в простейшем случае здесь возникает простейшая система одновременных уравнений. Если допустить, что спрос Q^D и предложение Q^s в момент времени t являются линейными функциями от цены Р в этот же момент времени, то получим следующую систему:

Очевидно, что наличие случайных отклонений в данных моделях связано в первую очередь с отсутствием ряда важных объясняющих переменных (дохода, цен сопутствующих товаров, вкусов, ожиданий, цены ресурсов, налогов и т. д.). Изменение одного из этих факторов может отразиться на модели. Например, рост дохода потребителей может сдвинуть кривую спроса вверх, что приведет к изменению равновесной цены.

Модель (142) можно усовершенствовать. Например, если в функцию спроса добавить доход потребителей У, то получим систему:

Другим примером применения систем одновременных уравнений является кейнсианская модель формирования доходов. В ней рассматривается закрытая экономика без государственных расходов:

Здесь У, С, / представляют совокупный выпуск, объемы потребления и инвестиций соответственно {y_t, c_t, i_t — значения этих переменных в момент времени Q.

Описать участие государства в регулировании экономических, в т. ч. и инновационных процессов можно детерминированной моделью равновесия на рынке товаров (IS):

Здесь y_t, C_t, i_t, g_t, i_t, y_(d", r_t — значения в момент времени t национального дохода (У), потребления ©, желаемого объема чистых инвестиций (/), государственных расходов (G, в данном случае G = д = const), объема налогов (7). располагаемого дохода (Y_d), процентной ставки (г).

Рассмотренные модели описываются уравнениями, составляющими исходную модель и называемыми структурными уравнениями модели. Обычно их подразделяют на поведенческие уравнения и уравнения-тождества. В первых из них описываются взаимодействия между переменными. Во вторых — соотношения, которые должны выполняться во всех случаях (заметим, что тождества не содержат подлежащие оценке параметры и случайные составляющие). Это теоретические взаимосвязи, которые проверяются на статистических данных, т. е. на эконометрической модели.

Структурной формой модели (системой одновременных уравнений) называется система уравнений, в каждом из которых, помимо объясняющих переменных могут содержаться объясняемые переменные из других уравнений.

Простейшая структурная форма модели имеет вид.

где у и х — зависимая и независимая переменные, ?₁ и е₂ — случайные члены, а (а, р) — параметры модели.

Параметры структурной формы модели называются структурными коэффициентами.

Структурная форма модели обычно включает в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и уравнения, отражающие тенденцию развития явления, а также разного рода уравнения-тождества. Тождества не содержат какие-либо подлежащие оценке параметры, а также не включают случайного члена.

В процессе оценивания параметров одновременных уравнений следует различать эндогенные и экзогенные переменные. Приставки «эндо» и «экзо» означают соответственно внутреннее и внешнее.

Эндогенными переменными считаются переменные, значения которых определяются внутри модели. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений системы.

Экзогенными переменными считаются переменные, значения которых определяются вне модели. Это заданные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

В качестве экзогенных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Предполагается, что в каждом уравнении экзогенные переменные не коррелированы со случайным членом.

Эндогенные же переменные в общем, случае коррелированы со случайным членом, поэтому применение метода наименьших квадратов непосредственно к структурной форме модели приводит к смещенным и несостоятельным оценкам коэффициентов. Это вынуждает применять искусственные приемы, т. е. преобразовывать исходную систему в приведенную форму.

Приведенной формой модели называется система уравнений, в каждом из которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные переменные и случайные составляющие.

Например, приведенная форма исходной модели (142) имеет вид.

где а' - параметры приведенной формы, a у, и v₂ — случайные члены.

Параметры приведенной формы модели называются коэффициентами приведенной формы (приведенными коэффициентами). Коэффициенты приведенной формы оцениваются обычным методом наименьших квадратов, поскольку экзогенные переменные в преобразованной системе не коррелированы со случайным членом.

Коэффициенты, получаемые по приведенной форме, могут быть использованы для оценивания структурных коэффициентов. Такой способ оценивания структурных коэффициентов называется косвенным методом наименьших квадратов.

В зависимости от теоретической взаимосвязи переменных конкретный структурный коэффициент может либо однозначно выражаться через приведенные коэффициенты, либо иметь несколько разных оценок, либо совсем не выражаться через них.

Структурный коэффициент называется идентифицируемым, если его можно вычислить на основе приведенных коэффициентов, причем, точно идентифицируемым, если он единственен, и сверхидентифицируемым, если он имеет несколько разных оценок; в противном случае он называется неидентифицируемым.

Аналогично структурное уравнение является идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент неидентифицируем, то и все уравнение является неидентифицируемым.

Модель считается идентифицируемой, если каждое ее уравнение идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель неидентифицируема.