Система первой степени негрубости

Условиями грубости динамической системы в замкнутой области G являются следующие.

1. В замкнутой области G могут быть только грубые состояния равновесия (т.е. такие, для которых.

ReX фО, Х — характеристические корни).

• 2. Могут быть только простые (грубые) предельные циклы, т. е. такие, для которых h Ф 0.
• 3. Не может быть сепаратрисе, идущих из седла в седло.

Приведем несколько примеров негрубых систем.

Примеры бифуркаций системы первой степени негрубости. Простейшие негрубые системы — так называемые системы первой степени негрубости.

Как и прежде, рассматривается система (3.12). Кроме того, рассматривается 5-близкая к (3.12) измененная (возмущенная) система (3.12').

Определение 3.5. Говорят, что система (3.12) имеет первую степень негрубости в замкнутой области G, если:

• 1) система не является грубой в G;
• 2) Ve > 0 35 > 0: если для любой системы (3.12'), негрубой в G и 8-близкой к системе (3.12) до ранга 3, существует гомеоморфизм Г (топологическое отображение) G в себя, для любой точки MeG выполняется р(М, Г (М)) < 8 и траектории систем (3.12) и (3.12') отображаются друг в друга.

Как и ранее, введем в рассмотрение матрицу Якоби системы (3.12) в окрестностях особых точек системы.

Доказывается, что если система (3.12) является системой первой степени негрубости, то она не может иметь в G состояний равновесия, для которых det/ = 0 и Sp/ = 0 одновременно, а также состояний равновесия, для которых det/ = 0, Sp/ Ф 0, //²⁾(1,0) = 0. Здесь, как всегда, мы считаем, что линеаризованная система рассматривается в окрестности особой точки (0; 0), а //²⁾ имеет смысл правой части нелинейного уравнения (3.12), приведенного в окрестности особой точки к каноническому виду. Кроме того, в системах первой степени негрубости не может существовать особой точки, для которой det/ > 0, Sp/ = 0 и первая ляпуновская величина равна нулю.

Могут существовать и особые точки с det/ = 0, SpJ ф 0, //²⁾(1,0) Ф 0, которые не встречались среди рассмотренных ранее.

Очевидно, что характеристические корни такой системы — корни уравнения А,² — XSp/ = 0 — равны нулю и Sp/ соответственно. С помощью неособого линейного преобразования система (3.12) в окрестности особой точки приводится к виду.

где b = Sp/, а разложения функций f_x, /₂* по степеням у_х, у₂ начинаются с членов не ниже, чем второго порядка.

По теореме о неявной функции всегда существует решение функционального уравнения Ьу₂ + /₂*(у_х, у₂) = 0, так как.

при у_х — у₂ = 0.

Обозначим это решение через у₂ = <�р(у_х).

Пусть теперь У (г/,) = /₁*(г/₁, ф (г/₁". Если /,(>" у₂) и /₂(г/" г/₂) не имеют общего множителя, отличного от постоянного, то в разложении по степеням у_х функций |/(z/_t) существуют отличные от нуля члены:

где т> 2.

Теорема 3.10. Исследуемое состояние равновесия — следующего качественного характера:

• 1) если d_m > 0,/w — нечетное, то имеем седло;
• 2) если d_m < 0, т — нечетное, то имеем узел;
• 3) о случае четного т имеем состояние равновесия с одним узловым и двумя седловыми секторами (рис. 3.5). При b > 0 узловой сектор неустойчив, при b < 0 — устойчив. Если bd_m < 0, то траектории узлового сектора стремятся к нулю (при t —> +°о или -«> о зависимости от знака Ь) слева от оси Оу₂ (рис. 3.5, о, г), о если bd_m > 0 — справа (рис. 3.5, а, б).

Определение 3.6. Положение равновесия (1) в условиях теоремы 3.10 называется сложным седлом, (2) — сложным узлом, а (3) — седлоузлом.

Если система имеет канонический вид, то направления, по которым рассматриваемые траектории стремятся к нулю: 0, тс/2, л, Зя/2. Если канонического вида нет, то направления, возможно, отличаются от направления осей (см. рис. 3.5, г).

Продолжим рассмотрение типов особых траекторий, которые могут иметь место в системах первой степени негрубости. В подобных системах возможно существование замкнутых траекторий. К замкнутым траекториям первой степени негрубости относятся двойной (двукратный) предельный цикл и сепаратрисса, идущая из седла в то же седло (в последнем случае в седле Sr/ ф 0).

Назовем независимой особой траекторией первой степени негрубости каждую из следующих траекторий: а) состояние равновесия седлоузел (порядка 2);

• б) сложный фокус первого порядка (L_{ -t 0);
• в) двойной предельный цикл;
• г) сепаратриссу, идущую из одного седла в другое;
• д) петлю сепаратриссы (сепаратриссу, идущую из седла в то же седло), причем SpJ (y_l0, У20) * 0.

Рис. 3.5. Схематическое изображение траекторий системы в окрестности различных седлоузлов на плоскости

Теорема 3.11. У системы первой степени негрубости не может существовать двух независимых особых траекторий первой степени негрубости.

В системе первой степени негрубости возможны лишь следующие бифуркации.

• 1. Бифуркация состояния равновесия седлоузел:
  • а) разделяется на два грубых состояния равновесия;
  • б) исчезает (рис. 3.6).
• 2. Бифуркация сложного фокуса:
  • а) становится грубым той же устойчивости;
  • б) становится грубым с противоположенной устойчивостью, при этом из него рождается предельный цикл той же устойчивости, что и сложный фокус.
• 3. Бифуркация двукратного предельного цикла:
  • а) разделяется на два грубых — устойчивый и неустойчивый;
  • б) исчезает.

Рис. 3.6. Преобразование седлоузла (а) в результате бифуркации — распад на две негрубые особые точки (б) или исчезновение (в).

• 4. Бифуркации сепаратриссы, идущей из седла в седло:
  • а) сепаратрисса идет из седла в другое седло (рис. 3.7);
  • б) сепаратрисса образует петлю; в седле Sp/(y_H), у₂₀) Ф 0. Если о = SpJ 0, то петля неустойчива.

Рис. 3.7. Бифуркация сепаратриссы, идущей из седла в другое седло:

а — до бифуркации; б — после бифуркации Возможны два случая бифуркации: обе сепаратриссы уходят из области петли сепаратриссы или рождается предельный цикл той же устойчивости, что и петля сепаратриссы (рис. 3.8).

• 5. Последний тип бифуркаций в системе первой степени негрубости — бифуркация сепаратрисе состояния седлоузел. Возможны следующие случаи:
  • а) сепаратрисса L₀ стремится к узлу, фокусу или предельному циклу. Бифуркации в этом случае очевидны — см. случай 1;
  • б) сепаратрисса седлоузла стремится к седлоузлу и при t —"+°°, и при t —>
  • —> —оо.

В случае 56 возможно разделение седлоузла на седло и узел (рис. 3.9) или исчезновение седлоузла, когда рождается предельный цикл той же устойчивости, что исепаратрисса седлоузла.

Рис. 3.8. Возможные бифуркации петли сенаратриссы (а) (внутри малой петли сенаратриссы расположена особая гонка — неустойчивый фокус) — возникновение предельного цикла (б) и уход из области петли (в).

Рис. 3.9. Бифуркация петли сепаратриссы седлоузла (а) — разделение на две негрубые особые гонки (б) или исчезновение седлоузла (в) (из петли сепаратриссы в этом случае рождается предельный цикл) Легко видеть, что в системах первой степени нсгрубости нс может быть других бифуркаций.