Оценка существенности коэффициента корреляции, уравнения регрессии и его коэффициентов

Оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции обычно проводится на основе выборки. Возникает вопрос, насколько правомерен вывод о наличии корреляционной связи в генеральной совокупности, из которой была произведена выборка, и не являются ли полученные значения параметров результатом действия случайных причин. В этом случае необходимо оценить существенность линейного коэффициента корреляции, дающую возможность распространить выводы по результатам оценивания выборки на всю генеральную совокупность. Для этого используется критерий Стыодента:

где п — объем выборки.

Величину f_paC4 сравнивают с табличным значением критерия Стыодента (Г_табл) при числе степеней свободы, равным (п — 2). Если г_расч больше t_Taбл, то подтверждается связь между признаками. Если величина коэффициента корреляции превышает величину средней квадратической ошибки более чем в Г_табл • о, раз, то можно говорить о существенности выборочного коэффициента корреляции. Доверительный интервал для коэффициента корреляции будет равен.

где  — значение коэффициента корреляции в генеральной совокупности.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии (обычно для совокупности п < 30) определяется с помощью критерия Стыодента. При этом вычисляются фактические значения^{критерия} для параметров а и b:

где среднее квадратическое отклонение результативного фактора у, от выравненных значений у

 — среднее квадратическое отклонение фактора х,.

Полученные по этим формулам фактические значения t_Q и t_b сравниваются с критическим ?_табл, определенным по таблице Стьюдента на основе принятых уровня значимости, а и числа степеней свободы v:

где п — количество наблюдений, k — число факторов в уравнении регрессии.

Параметры а и b уравнения регрессии можно считать типичными, если соответствующие фактические t больше ?_табл• Средние ошибки оценки параметров а и Ь, а также коэффициента корреляции г вычисляются по формулам.

Прогноз, полученный подстановкой в уравнение регрессии ожидаемого значения фактора, называют точечным прогнозом. Вероятность точной реализации такого прогноза очень мала. Поэтому рассчитывается значение средней ошибки прогноза или доверительный интервал прогноза с достаточно большой вероятностью. Среднюю ошибку положения линии регрессии в генеральной совокупности при х = х_к определяют следующим образом:

где  — оценка среднего квадратического отклонения результативного признака от линии регрессии в генеральной совокупности с учетом степеней свободы вариации; п — количество элементов в выборке; х_к — ожидаемое значение фактора х.

Для вычисления доверительных границ прогноза линии регрессии находят значение^{-критерия} по таблице Стьюдента па основе числа степеней свободы и уровня значимости (доверительной вероятности). Затем вычисляют предельную ошибку по формуле.

В экономической статистике в большинстве случаев уровень значимости принимается равным 0,05. Доверительный интервал прогноза представляет собой диапазон от (У (_Хк)~ ^Д_ПР) Д° (4Г₍,*) + Дпр). Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения по правилу дисперсии суммы независимых переменных образуется из ошибки прогноза положения линии регрессии и среднего квадратичного отклонения индивидуальных значений от линии регрессии (остаточной вариации):

Аналогично вышеизложенному доверительный интервал прогноза индивидуальных значений результирующего признака при х = х_к представляет собой диапазон от (г/_(д>) — А) до (%> + ^д)>^гДе Ь = т_у, уt.

Значимость коэффициента множественной детерминации и, соответственно, адекватность модели можно проверить с помощью критерия Фишера.

где R² — коэффициент множественной детерминации (!§/); к — число факторных признаков в уравнении регрессии.

Связь считается существенной, если /⁷_расч больше табличного значения F-критерия (F_Taбл) для заданного уровня значимости, а и числа степеней свободы v_{ = k_y v₂ = п — к —1.