Вопросы и задания для повторения

• 1. Сформулировать и доказать неравенство Маркова для непрерывных случайных величин.
• 2. Сформулировать и доказать неравенство Чебышёва для непрерывных случайных величин.
• 3. Сформулировать и доказать неравенство Колмогорова для непрерывных случайных величин.
• 4. Что такое сходимость по вероятности и чем она отличается от сходимости в математическом анализе?
• 5. Что такое сходимость по распределению? Привести пример.
• 6. Сформулировать закон больших чисел (ЗБЧ).
• 7. Сформулировать частный случай ЗБЧ для среднего арифметического.
• 8. Сформулировать определение характеристической функции. Каковы ее свойства?
• 9. Сформулировать центральную предельную теорему (ЦПТ) для независимых одинаково распределенных случайных величин.
• 10. Сформулировать ЦПТ для независимых случайных величин, имеющих разные распределения.
• 11. Сформулировать и доказать следствие из ЦПТ о среднем арифметическом.
• 12. Сформулировать и доказать теорему Муавра — Лапласа, используя ЦПТ.

Примеры решения задач

Задача 9.1. В коробке весом 5 кг хранятся шурупы разных размеров со средним весом 5 г и среднеквадратическим отклонением 4 г. Найти вероятность того, что в коробке их не менее 950 штук.

Решение. Условие, что в пятикилограммовой коробке содержится не менее 950 штук шурупов, означает, что 950 шурупов весят не более, чем 5 кг. Пусть — вес одного шурупа. То, что 950 шурупов должны весить не более 5 кг (или 5000 г), записывается как.

• 950
• 1^<5000.

i=i.

Вероятность этого события в соответствии с ЦПТ.

Таким образом, вероятность того, что 950 шурупов составят вес в пределах 5 кг, равна.

Задача 9.2. Дворец культуры, вмещающий 1000 человек, регулярно арендуется под торжественные мероприятия. Он имеет два разных входа. Около каждого из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов, для того чтобы в среднем в 99 случаях из 100 приглашенные на какое-либо торжественное мероприятие участники могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Предполагается, что участники приходят поодиночке и независимо друг от друга с равной вероятностью выбирают любой из входов.

Решение. Пусть — случайная величина, описывающая поведение t'-ro участника, пришедшего на торжественное мероприятие, равная единице, если он попал на первый вход, и равная нулю, если на второй, г|_; — случайная величина, описывающая поведение j-ro участника, пришедшего на другое торжественное мероприятие, равная единице, если он попал на второй вход, и равная нулю, если на первый. Пусть N — число мест в каждом гардеробе, достаточное, чтобы разместить всех участников с вероятностью 0,99. Тогда вероятность того, что участникам на 1-м или 2-м входе не хватит мест в гардеробе:

Преобразуем равенство, считая случайные величины ?_г и г)_; имеющими одно распределение — распределение Бернулли и ограничиваясь одним множеством случайных величин.

Далее применяем ЦПТ:

По таблице Лапласа находим для Ф₀(х) = 0,495 величину х = 2,58. Тогда.

Число мест в каждом гардеробе должно быть не меньше 541.

Задача 9.3. В экономико-аналитический отдел предприятия, занимающегося разработкой и выпуском электронной продукции, поступил заказ. Планируется выпуск опытной партии из 1000 шт. электронных приборов. С учетом потенциального брака требуется закупить необходимое количество процессоров из расчета, чтобы все 1000 приборов с вероятностью не менее 0,999 были укомплектованы кондиционными микросхемами. Проведенное исследование рынка показало, что в свободной продаже имеются два типа нужных микросхем. Фирма А, проводящая контроль каждого выпускаемого изделия, дает гарантию надежности в 99%, продает изделия по цене 99 долл. Фирма В проводит только выборочный контроль своих изделий, гарантирует надежность 95%, цена продажи 95 долл. Необходимо дать рекомендации по покупке.

Решение. Выясним, какое количество процессоров требуется приобрести для удовлетворения техническим условиям. Пусть ?,• — случайная величина, описывающая состояние г-й микросхемы: кондиционная она или нет. Мы имеем дело с распределением Бернулли. В соответствии сЦПТ Преобразуем выражение в фигурных скобках:

Отсюда Ф₀(х) < -0,499. По таблице Лапласа находим х₀ = -3,1. Функция Ф₀(х) — монотонно возрастающая. Поэтому х^Ф^¹ (-0,499) =.

= х₀=-3,1. Следовательно, —^П^-<�х₀. Обозначим t = Vn. Получим.

Фт

неравенство pt² +х_ол/рдГ + 1000>0. Решение квадратного неравенства имеет вид.

Мы получили в общем виде соотношение для вычисления числа деталей, которые надо приобрести.

У фирмы, А придется купить 1021 деталь:

у фирмы В — 1076 деталей:

Стоимость 1021 и 1076 изделий равны соответственно 1021 • 99 = = 101 079 и 1076 • 95 = 102 220 долл.

Таким образом, руководствуясь финансовым аспектом, процессоры следует приобрести у фирмы А. Экономия на каждую тысячу изделий составит 1141 долл.