Квантовые компьютеры. 
Наноэлектроника

От битов к кубитам

Историческая справка Первым, кто в 1948 г. ввел понятие количества информации и ее единицу «бит», был Клод Шеннон — американский математик и инженер, лауреат Нобелевской премии в области информатики. Он проанализировал текст, передаваемый с помощью азбуки Морзе. Как известно, в этой азбуке всего два символа — точка и гире. Было установлено, что объем информации I = -Е/?_г1п_;/?, где р- — вероятность появления символа с номером i, а суммирование проводится по всем i. В выражении для / используется натуральный логарифм, а единицу информации в этом случае назвали «наш».

Что такое «информация», каждый знает на интуитивном уровне, каждый воспринимает ее по-своему, каждый знает меру этой информации. У философа свое понимание информации, у математика — свое; по-своему информацию понимает биолог и химик; физик ломает голову над тем, как преобразовать энергию в информацию и наоборот. Ведь предложил же Эйнштейн преобразовывать вещество в энергию по формуле Е = тс²! Значит, существует в природе зависимость между материей и информацией, энергией и информацией.

Прежде всего, необходимо определять количество информации, знать ее меру. Если известна величина информации для одного знака, то для текста из N знаков информация увеличивается в N раз. При использовании логарифма по основанию 2 объем информации будет выражен так: I_B = -Sp, log₂p_/. Если все варианты равновероятны, тоp_i =/п и I_B = log₂п. В этом случае единица информации называется «бит».

Поскольку для любого числа N справедливо соотношение N= 2^log2JV = е^ш, то 1_В = 7/1п2 ~ 1,44/. Другими словами, в информационном сообщении число бит равно 1,44 нат.

Формула для 1_В очень похожа на формулу Больцмана для энтропии S = = k W, где k = 1,38* 10 ²³ Дж/К — постоянная Больцмана. Вспомним, что статистическая энтропия S служит мерой неопределенности случайных величин при известной вероятности их появления/?,. Таким образом, энтропия — это информация, которой недостает для полного определения случайного объекта. Числовое значение энтропии в битах задается выражением: &1п 2 = = 0,96−10-²³ ~ 10 ²³ Дж/К бит. Для системы, в которой происходят случайные события, сумма информации / и энтропии S является величиной постоянной, или I + S = const.

Другими словами, чем больше известно о событии (частице, физической системе), тем меньше ее энтропия. Уменьшение энтропии — это своеобразная плата за знания. В качестве бита информации в классической традиционной теории информации используются символы «0» — «1», «да» — «нет» и др. В традиционной теории информация всегда имеет физическое воплощение. Например, в микроэлектронных запоминающих устройствах единице соответствует наличие заряда в емкости ячейки памяти, а отсутствие заряда — нулю. В схемах логики, например в инверторе, наличие напряжения на выходе схемы соответствует единице при условии, что на входе напряжение отсутствует, и наоборот.

Успехи вычислительной техники сегодняшнего дня впечатляют: вычислительные устройства, реализованные на микроэлектронных интегральных схемах, способны развить производительность порядка 10¹² операций в секунду. С одной стороны, это очень много, а с другой — недостаточно. Например, для отыскания простых сомножителей 300-значного числа необходимо сделать 5* 10²¹ шагов. При производительности современной вычислительной техники на это потребуется 150 тыс. лет!

Забегая вперед, скажем, что если бы эту задачу решали на квантовом компьютере, то пришлось сделать всего 5 • 10¹⁰ шагов и затратить на все операции меньше секунды.

Идея квантовых компьютеров родилась в 1980;х гг. В 1980 г. идеи квантовых вычислений впервые высказал наш соотечественник Ю. А. Манин. Однако эта идея овладела массами после публикации работы американского физика, лауреата Нобелевской премии Р. Фейнмана. Успехи квантового компьютера лежат в развитии идей квантовой физики и квантовой информатики.

На квантовом уровне микромир может быть математически описан уравнением Шрсдингера.

где линейный оператор обладает свойством суперпозиции состояний.

Иными словами, если система может существовать в состояниях яI^F,) и b 14^), то она может существовать и в состоянии яI^F,) + Ь^х?₂) = У, где awb — комплексные амплитуды, такие что а² + b² = 1.

Этот принцип лег в основу построения элементной базы квантовых вычислительных устройств. В основе квантовых вычислений лежит понятие кубита (quantum bit), который является квантовой версией бита. Кубит представляет собой когерентную суперпозицию двух базисных состояний.

|^) = я|0) + bl), где коэффициенты а и b — комплексные амплитуды. Кубит является единицей количества квантовой информации.

Амплитуды определяют вероятность нахождения системы в одном из базисных состояний, удовлетворяющих условию нормировки.

Наглядной интерпретацией бита может служить модель, представленная на рис. 5.47.

Вообразим сферу, направление по радиусу на север в которой представлено единицей, а направление на юг — нулем. Это обычные биты. Любые другие положения соответствуют квантовым суперпозициям «О» и «1». Например, стрелкой обозначен кубит, имеющий конкретные координаты, которые могут кодировать бесконечную последовательность цифр. Заметим, что это не соответствует бесконечному количеству информации, которую содержит кубит. Квантовая механика требует, чтобы информация из кубита была извлечена путем измерения. Как и классический бит, кубит представляет единицу или нуль.

о.

Рис. 5.47. Модель квантового бита информации

Особенностью кубита, как и любого объекта квантовой механики, является диапазон суперпозиций. В этом диапазоне содержатся в разной степени оба исходных состояния. Другими словами, в кубите содержится континуум состояний между нулем и единицей. Поэтому кубит является базовым ресурсом квантовой теории информации.

Зададимся вопросом: сколько классической информации можно хранить в кубите? Ответ лежит на поверхности: указывая широту и долготу координаты вектора кубита, можно кодировать длинную строку битов. Но этот ответ не верен. Хотя в одном кубите можно закодировать бесконечное количество классической битовой информации, извлечь ее обратно нельзя. Определение состояния кубита с помощью прямого измерения дает в результате нуль или единицу. Важнейшей особенностью при этом является вероятность нуля или единицы, значение которой зависит от широты исходного состояния. Итак, у кубита можно прочесть только один бит с определенной вероятностью. Кубит необходимо рассматривать как единицу квантовой информации, а не как бесконечное число квантовых битов.

Кубит обладает рядом уникальных особенностей. В квантовой системе состояние квантовой частицы или квантового кубита выражается через супернозицию базисных состояний 10) и 11), имеющих матрицы плотности. Сами квантовые состояния объединяются с помощью умножения тензоров, в результате которого образуется пространство состояний из п квантовых частиц с размерностью 2″. Это означает, что если один кубит может быть в двух супеиозиционных состояниях |0) и 11), то два кубита — уже в четырех (00, 01, 10, 11) и представляют собой четыре числа.

На к кубитах можно провести математические операции с 2^к числами одновременно. Именно такое заключение способствует развитию работ в области квантовых вычислений. Действительно, имея в распоряжении сотню кубитов, можно оперировать с количеством чисел, по величине превосходящем число атомов во Вселенной. Отсюда следует принцип квантового параллелизма.

Квантовый параллелизм представляет собой вычислительный процесс, при котором в квантовом компьютере определяются выходные значения всех входных состояний. В современной вычислительной технике, реализованной на микроэлектронной элементной базе, идея предельного распараллеливания массива информации еще далека от эффективной реализации.

Для создания реального квантового компьютера необходимо получить реальные результаты по нескольким направлениям исследований. Одним из таких направлений является создание ансамблей кубитов или, как принято в традиционной вычислительной технике, регистров кубитов. В качестве кубита может быть выбрана, например, любая квантовая система. Естественно выбрать, например, двухуровневые квантовые ячейки со спиновым числом ½. Это могут быть электронные или ядерные спины. На рис 5.48 приведены уровни энергии ядерного спина (+½, -½) в магнитном иоле В₀.

Возможны другие реализации состояния кубита. Например, выбирают орбитальные состояния электрона в квантовых ямах или квантовых точках. Состояния «0» и «1» электрона в квантовых точках возможно разделить потенциальным барьером. Управление динамикой кубита можно осуществлять лазерными импульсами через возбужденные уровни энергии электрона.

Одиночный фотон может также служить кубитом. Любые два состояния фотона с ортогональными поляризациями могут интерпретироваться как состояния 10) и 11) кубита. В качестве кубита можно использовать два фотонных состояния, различающихся фазой л.

Помимо двухуровневой реализацию кубитов можно осуществить их реализацию в трехуровневой системе. Биты в таких системах получили название «кутриты» (q-trits). В многоуровневых системах единицы информации получили название «кудиты» (q-dits).