Центр масс системы. 
Движение центра масс

Обратимся к выражению для импульса системы:

Положим mfi = Я^т_п определяя тем самым некоторый радиус;

/ /.

вектор

Этот вектор определяет некоторую точку в пространстве, которая называется центром масс системы.

Задача 3.5. Имеем две частицы массами /и" т_г с радиусамивекторами ?"г₂. Найти центр масс этой системы (рис. 3.1).

Решение. По определению.

Прибавив и вычтя в правой части г_{, приведем это выражение к виду.

Этот результат означает, что центр масс лежит на прямой, соединяющей две частицы, и располагается между ними. Если расстояние между частицами |г₂ -/*| = /, то центр масс отстоит от первой частицы на расстоянии (m,/^ +mj)l.

Формула (3.12) позволяет найти координаты центра масс, выразив их через координаты частиц. Имеем, например,.

сумма берется по всем частицам. Если система — сплошное тело, то оно разбивается на малые элементы, и суммы заменяются интегралами. Если распределение массы обладает центром симметрии (каждой частице с радиусом-вектором г соответствует такая же частица с радиусом-векторомг), центр масс совпадает с центром симметрии. Если систему можно разбить на части с известными центрами масс, то для нахождения ее центра масс части можно заменить точками с массами частей, расположенными в их центрах масс (однако в других отношениях полученная система не эквивалентна исходной!).

Возвращаясь к формуле (3.11), будем иметь.

Здесь т = Ут. — полная масса системы. Величина.

г

представляет скорость центра масс системы. Координаты частиц, составляющих систему, меняются со временем, поэтому и координаты центра масс меняются со временем, т. е. он движется. Таким образом, импульс системы.

Формула (3.3) принимает вид.

Но это есть второй закон Ньютона!

Второй закон формулировался для «частицы» — точечного бесструктурного объекта с единственным физическим свойством — массой. Но таких объектов нет. Формула (3.17) проясняет истинный смысл второго закона Ньютона. Под словами «координата частицы» следует понимать «координата центра масс» (центр масс — настоящая геометрическая точка), под словами «масса частицы» — масса объекта, к которому применяется закон, будь то человек, автомобиль либо электрон. Ускорение, о котором говорится во втором законе Ньютона, — это ускорение центра масс, сила — сумма сил, с которыми части объекта взаимодействуют с остальным миром.

Мы видели, что внутренние силы не изменяют импульса системы. Теперь мы можем это положение сформулировать иначе: внутренние силы не могут изменить движение центра масс системы. Если ракета стартует с Земли и покидает Солнечную систему, то центр масс всей системы (Солнечная система плюс ракета) продолжает двигаться так, как он двигался раньше. Это означает, что в инерциальной системе, в которой он покоился, центр масс Солнечной системы начнет двигаться в сторону, противоположную ракете.

Задача 3.6. Полагая, что ракета массой 1 т покидает Солнечную систему со скоростью 3 км/с, оценить, насколько сместится центр масс Солнечной системы за один год.

Решение. За год ракета удалится на расстояние / = V/ = 3 • 365 • 24 х хЗбОО = 10^s км. Центр масс Солнечной системы сместится на расстояние L = (т/М)1_у где т — масса ракеты, а А/ - масса Солнечной системы. Мы не очень ошибемся, если массу Солнечной системы приравняем к массе Солнца. Его массу можно найти в справочнике, но мы и сами можем ее определить. Расстояние от Земли до Солнца 150 млн км. Это позволяет определить нормальное ускорение Земли:

С другой стороны, по второму закону Ньютона и закону всемирному^.

го тяготения а_п = где М — масса Солнца. Отсюда М= a_nR²/G =

— 5,9 • 10^_3 • 2,25 • 10²²/6,7 • 10″^п ~ 2 • 10³⁰ кг. Таким образом, для смещения Солнечной системы получим L = 5 • 10″ ¹⁷ м. Это на два порядка меньше размера атомного ядра.

Задача 3.7. Массивная цепь массой т и диной / лежит на столе вдоль прямой так, что ее кусок длиной b свешивается со стола. Трения нет. Как будет двигаться цепь, если ее отпустить?

Решение. Прежде чем решать эту задачу, рассмотрим более общую проблему. Пусть одномерная система (цепь, нить, длинный поезд) движется вдоль заданной кривой. Важно, чтобы все точки этой системы имели одинаковую по модулю скорость (нерастяжимая нить) и чтобы система не оказывала сопротивления изгибу. Далее будем именовать систему нитью. Ясно, что положение нити на заданной кривой определяется одной координатой, например положением начальной или конечной точки. Положение точки на кривой будем задавать длиной дуги s от этой точки до некоторой точки О на кривой. Движение нити будет описываться функцией s = s (t). Это одномерное движение. Проблема, которую мы намерены решить: как найти функцию s = $(/), если известны действующие на нить внешние силы?

Зададим положительное направление вдоль кривой, и пусть параметр s возрастает в положительном направлении. Разобьем нить на малые элементы длиной As, / — номер элемента, массами Ат, = (m/l)As, (нить считаем однородной). Каждый такой элемент можно рассматривать как частицу, движущуюся вдоль заданной кривой. Мы уже видели, что такое движение определяется тангенциальной силой, действующей на частицу. На /'-й элемент действует сила, равная AF, + Am.g + Af_r Здесь первое слагаемое — внешняя сила, второе — сила тяжести, третье — сила со стороны соседних участков нити. Пусть т, — касательный вектор к траектории в месте нахождения выбранного элемента. Имеем:

В правой части стоит проекция силы на касательную к траектории в точке нахождения частицы, т. е. тангенциальная сила. Напомним, что скорость всех элементов одинакова. Всего имеем столько таких уравнений, на сколько элементов разбита нить. Сложим все уравнения. Получим.

Во втором слагаемом в правой части мы выразили массу элемента через его длину и положили As. = т./Ц, т. е. малый элемент дуги рассматриваем как вектор. Сумма в левой части, очевидно, — полная масса нити, первая сумма в правой части дает сумму всех тангенциальных внешних сил, кроме сил тяжести, действующих на нить. Третья сумма в правой части есть сумма внутренних сил (все они тангенциальны) и поэтому равна нулю. Что касается второй суммы, то.

Но сумма в правой части — сумма малых векторов, на которые разбита кривая, а это замыкающий вектор /~, проведенный из начальной точки нити в конечную:

Таким образом, где / — вектор, проведенный из начальной точки нити в конечную.

После этих приготовлений вернемся к нашей задаче. Пусть к моменту времени / длина свешивающегося конца цепи равна у. Уравнение (3.18) дает.

причем v = dy/dt. Как решаются такие уравнения, мы уже видели (см. п. 2.2.8).

Имеем:

Эта формула дает скорость как функцию длины свешивающейся части цепи. Далее можем найти функцию у = y (t) (см. задачу 2.32), что и решает проблему.

Задача 3.8. В условиях предыдущей задачи определить силу, действующую на стол со стороны цепи.

Решение. Исходим из формулы (3.17):

Здесь V — скорость центра масс цепи,.

Р — сила, действующая на цепь со стороны стола. Центр масс цепи лежит на отрезке, соединяющем середины свешивающейся части цепи и части, лежащей на столе (рис. 3.2).

Координаты центра масс определяются соотношениями:

где /я, = у (/ - у), т₂ = у у, х, = -(/ - У)/2, х₂ = 0, у, = 0, у_г = -у/2 (см.

рис. 3.2)

Откуда получим.

" dX г dr 1-у г у — «. …

Далее, V = —/ + — / = —— v/ - — у/. Здесь v= ay/at — скорость d/ dr / I

цепи. Подставляя полученное выражение для скорости центра масс в формулу (3.21) и учитывая формулу (3.19), для силы получим.

Первые два слагаемых в правой части (3.23) дают силу F', действующую на цепь со стороны края стола (на изгиб цепи), третье — силу, уравновешивающую вес куска цепи на столе. Видим, что сила F' направлена под углом 45°. Обратите внимание на первое слагаемое в выражении для компонент этой силы, зависящее от скорости. Происхождение этой силы такое же, как в задаче 3.4.

Подставляя значение скорости (формула (3.20)), для силы F' получим.

При у = (//4) (l + Vl +8b²/l²) эта сила обращается в нуль, а при дальнейшем увеличении у меняет знак, что физически невозможно! На самом деле цепь в этом случае теряет контакт с краем стола. Когда результат получен, понять его можно, но нельзя сказать, что он очевиден.

Задача 3.9. В условиях предыдущей задачи найти траекторию центра масс цепи.

Решение. Траектория фактически уже найдена: уравнения (3.22) дают уравнения траектории в параметрическом виде (величина у выступает в качестве параметра, причем по смыслу задачи у < /). Чтобы получить уравнение траектории в явном виде, нужно исключить параметр. Если это сделать, то получим уравнение.

Это уравнение конического сечения. Стандартный анализ этого уравнения показывает, что центр масс цепи, пока она не сойдет со стола, движется по параболе. Впрочем, он будет двигаться по параболе и дальше, но уже по другой (как свободная частица в поле тяжести).

Выводы;

Движение центра масс системы определяется вторым законом Ньютона.

Сила в правой части — это сумма сил, с которыми все части системы взаимодействуют с остальным миром.