Электрическое поле, возникающее при изменении магнитного поля

1. Магнитное поле создается длинным соленоидом, и ток в соленоиде меняется со временем (рис. 9.2).

Это приводит к тому, что магнитное поле также меняется со временем и появляется вихревое электрическое поле. Система обладает осевой симметрией, и силовые линии электрического поля будут окружностями с центрами на оси симметрии.

Ось х совместим с осью симметрии. Ток течет, как показано на рис. 9.3. Поле внутри соленоида.

Пусть R — радиус соленоида. Выберем контур / в виде окружности радиусом г. Такой контур совпадает с силовой линией поля Е (см. рис. 9.2). Имеем:

Рис. 9.2 Рис. 9.3

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Вычислим магнитный поток через площадь контура. Здесь нужно различать два случая: 1) контур внутри соленоида и 2) контур охватывает соленоид.

1) Пусть r< R. Имеем:

Учтено, что нормаль к поверхности S при выбранном направлении обхода есть вектор /', В = const в сечении соленоида и определяется формулой (9.5).

Подставляя (9.6) и (9.7) в уравнение (9.2), получим.

откуда Знак «минус» в (9.9) означает, что если AI/dt > 0, то Е < 0, и поле направлено против обхода контура, т. е. против тока в обмотке соленоида, и препятствует нарастанию тока.

2)Пусть г > R. В этом случае нужно учесть, что поле В отлично от нуля лишь в пределах сечения соленоида S₀. Если полная площадь контура S = 5₀ + S', то.

Это поле для случая — > 0 изображено на рис. 9.4. dt

Обратите внимание на то, что найденное электрическое поле имеет такую же структуру, как и магнитное поле прямого проводника с током. Если бы существовали магнитные заряды, то ток этих зарядов создавал бы такое электрическое поле. В нашем случае роль такого тока играет меняющееся со временем магнитное поле.

Отметим еще одно существенное обстоятельство. Нам удалось найти электрическое поле из интегрального уравнения (9.2) лишь вследствие хорошей симметрии источника. В общем случае, если магнитное поле известно в пределах контура, можно найти интегральную величину.

& = но найти Ё в каждой точке контура невозможно. Чтобы найти Ё в каждой точке контура, нужно знать В во всем пространстве.

2. Электрическое поле возникает при изменении тока в прямом проводнике (рис. 9.5).

Источник обладает цилиндрической симметрией (см. 7.3.2), и поле будет иметь такую же симметрию. Это позволяет утверждать,.

что линии Ё параллельны проводнику и на окружности г = const поле Ё одинаково.

Рис. 9.4 Рис. 9.5

Рассмотрим контур ABCD. Магнитный поток через такой контур был вычислен в п. 8.3.5:

При изменении тока в проводнике в контуре появится ЭДС.

Нас, однако, интересует не просто $, а вид электрического поля E®.

Распишем интеграл j>?d/:

что вместе с (9.12) дает.

но это, к сожалению, не решает проблемы. Уравнение (9.14) позволяет найти разность напряженностей в двух точках, но не значение Е в точке. Кроме того, при г₂ —разность E (r₂) — ?(/-,) также стремится к бесконечности, т. е. само поле? где-то обращается в бесконечность, что с физической точки зрения плохо.

Эти трудности связаны с тем, что исходная ситуация — бесконечно длинный прямой проводник — физически нереализуема и, кроме того, предельный переход г -> ~ нарушает условия квазистационарности.

Мы избавимся от этих трудностей, несколько видоизменив постановку задачи. Пусть ток течет по цилиндрическому проводнику радиусом Л, и возвращается по коаксиальному цилиндрическому проводнику радиусом R₂ (так устроен антенный телевизионный кабель). В этом случае.

т. е. магнитное поле локализовано в области г < R₂ (рис. 9.6). Рассмотрим снова контур ABCD, такой, что ветвь АВ расположена между цилиндрами, а ветвь CD — вне. Поскольку ветвь CD лежит в области, где В = 0, изменение г₀ не влияет на магнитный поток через.

Рис. 9.6.

контур, т. е. не влияет на интеграл j>? d/. Это

означает, что поле Е в области г > Л₂ постоянно, и можно положить Ё = 0 при г > R_r Мы получили точку отсчета для Ё. Теперь.

Знак «минус» означает, что при возрастании тока поле Ё направлено против обхода контура, т. е. против направления тока в центральном проводнике. Как и в предыдущем примере, индукционное поле Ё препятствует нарастанию тока. Это не случайное совпадение, а общее правило.