Доводка до блеска

Для того, чтобы окончательно сформулировать определение устойчивости. нам осталось только «подчистить» некоторые детали, на которые мы до сих пор не обращали внимания, но которые существенны. Прежде всего, когда мы говорили о том, что x (t) — Х'(?)| < е, мы не уточняли, для каких t это должно выполняться. А ведь от этого существенно зависит ответ на вопрос задачи!

Первая попытка сказать, что раз в конкретных задачах рассматривается конкретный промежуток времени, то и ставить задачу надо на некотором промежутке [io>T]_; оказывается не очень удачной. Вопервых, потому, что такое свойство для дифференциальных уравнений имеет место всегда (за исключением экзотических случаев) это гарантируется теоремой о непрерывной зависимости решений от параметра (в частности, начального условия). Во-вторых, потому, что если призадуматься, то нас интересует в устойчивости все-таки не некая «временная» близость к идеальному состоянию, а скорее уверенность в том. что она будет всегда. Согласитесь, что положение сильно нетрезвого мужичка, который в стоящем на остановке пустом автобусе, медленно отклоняясь от вертикального состояния, в конце концов перешел в состояние горизонтальное, — устойчивым назвать никак нельзя. В то время как мы, находясь в здравом уме и полной трезвости, даже при сильном толчке или аварии, после некоторых усилий и нары «дерганий» возвращаемся, наконец, в исходное положение, и это иначе как устойчивостью не назовешь.

Резюме этих рассуждений состоит в том, что в наших представлениях об устойчивости нас интересует все-таки не фиксированный промежуток времени, а то, что произойдет «в конце концов¹¹. В конкретной ситуации это «в конце концов¹¹ реализуется за вполне обозримое время, а в идеальной ситуации, описываемой дифференциальным уравнением, корректно использовать как раз «идеализированную¹¹ форму представления о «конце концов¹¹, отнеся этот конец в бесконечность, и рассматривать все значения t > ty. Связь с конкретикой при этом не теряется: наличие 6. обслуживающего все значения t означает, что оно годится для любого конечного промежутка. Отсутствие такого S означает, что чем больше промежуток, тем меньше надо выбирать 6, и если промежуток сильно увеличить, то 6 окажется недопустимо (в рамках конкретной проблемы) малым.^{[1][2][3][4][5]}

Установленная нами договоренность о рассмотрении всех t > to порождает еще один вопрос: а что если решение задачи для возмущенного, или, что еще хуже, для невозмущенного решения непродолжимо на всю полуось [?о> +ос)? Здесь уже «философскими¹⁴ отговорками не отделаешься надо сразу признать, что это вопрос по существу. Следует отметить, что такие задачи тоже исследуются. И даже, более того, следует подчеркнуть, что мы на самом деле обсудили только одно из изучаемых в математике понятий устойчивости устойчивость на полуоси при возмущении начальных условий. Возможны и совсем другие постановки. Например, правая часть дифференциального уравнения может зависеть от одного или нескольких параметров и тогда встает вопрос об изучении устойчивости, связанной с возмущением параметров или всей правой части в целом. Внешнее воздействие может оказаться не детерминированным, а случайным (такие воздействия и процессы изучаются в теории вероятностей), и тогда возникает устойчивость при случайных возмущениях. Очень интенсивно изучаемый класс проблем устойчивости возникает в так называемых сингулярно возмущенных задачах так называются задачи (как правило, начальные или краевые), в которых изменение параметра приводит к изменению порядка дифференциального уравнения. Такими являются, например, классическая задача Коши, но для уравнения ex = f{t, x) при е —> 0 (при «предельном» значении ? дифференциальное уравнение исчезает оно превращается в функциональную зависимость, впрочем, выраженную неявно). Или знаменитое уравнение Ван-дер-Поля ех + ж (1 — х^[6]) + х = 0, описывающее генератор электрических импульсов «почти прямоугольной⁴⁴ формы. Есть специфические понятия устойчивости и в механике как в статике, так и в динамике. Есть понятие устойчивости в механике твердого тела, в физике элементарных частиц… всего не перечислишь.

• [1] Следует отметить практическую сторону этого определения. Очевидно, что че
• [2] ловек, имеющий дело с конкретной технической системой, не будет сидеть и ждать,
• [3] что же произойдет, «до бесконечностиДо бесконечности и человек не доживет, и
• [4] система проржавеет и развалится, и вообще все потеряет всякий смысл. Конечно,
• [5] надо понимать, что математическая бесконечность является идеализацией „иракти-
• [6] ческой“ бесконечности. Она может быть психологической когда у нас появляетсяощущение, что „это будет происходить до бесконечности“ (на самом деле это внутреннее ощущение ситуации, когда паше сформированное действие уходи т из сознанияв подсознание, становясь „автоматическим“ вот тут, в момент утраты прямого контроля над действием со стороны сознания, и возникает „ощущение бесконечности“).А может быть технической, связанной с завершением того или иного процесса илижизненного цикла. Например, в задачах механики это время перехода из одногостационарного состояния в другое. Мы в главе 23 отмечали, что соответствующееэтому процессу движение по сепаратрисе, соединяющей два положения равновесия, происходит за бесконечное время. Но это опять же идеализации, а в реальнойсистеме оно конечное, но именно его обычно рассматривают как „практическую“ бесконечность. То же относится и к предельным переходам е —> 0 и 6 —з 0: этоидеализации „практических“ бесконечно малых. По поводу отношения идеальных"теоретических» и «практических» бесконечно малых см., напр., примеры в § 2 первой главы в |27|, а также 1551.