Общая схема исследования функции и построение ее графика

• 1. Находим область определения функции f (x)
• 2. Находим точки пересечения кривой y = f (x) с осями координат и наносим их на чертеж.
• 3. Определяем, симметрична ли кривая y = f (x) относительно осей координат и начала координат.
• 4. Исследуем функцию y = f (x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.
• 5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.
• 6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами.
• 7. Исследуем кривую y = f (x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.
• 8. Вычерчиваем кривую y = f (x).

Касательная и нормаль к плоской кривой

Пусть даны кривая y = f (x) и точка M (x1; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).

Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f (x) в точке M (x1; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т. е. в виде y — y1 = f '(x1)(x — x1).

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен, а уравнение записывается в виде.