Примеры решения задач

Пример 12.1. Толстостенный цилиндрический сосуд нагружен внутренним давлением 20 МПа и внецентренно приложенной сжимающей силой 5 • 10⁵ Н, действующей параллельно оси z (рис. 12.23). Требуется исследовать напряженное состояние цилиндра в точках, удаленных от днищ, и определить коэффициент запаса по теории максимальных касательных напряжений. Дано: р = 20 МПа; F = 5 • 10⁵Н; г, = 0,04 м; г₂ = 0,08 м; с_тр — а_тс = 300 МПа.

Рис. 12.23. К примеру 12.1.

Решение. Значение нормальной силы в поперечном сечении цилиндра равно Изгибающий момент, обусловленный действием внецентренной силы, равен Обусловленное нормальной силой нормальное напряжение равно.

Определим нормальное напряжение, вызванное изгибающим моментом в характерных точках А и В цилиндра:

Подсчитаем окружные и радиальные напряжения, вызванные действием внут реннего давления. Окружные нормальные напряжения (рис. 12.24) равны.

Рис. 12.24. Окружные нормальные напряжения к примеру 12.1

Анализируя полученные результаты, определяем, что наиболее опасной является точка С, в которой главные напряжения равны.

В соответствии с формулой максимальных касательных напряжений эквивалентное напряжение в точке С равно.

Коэффициент запаса равен.

Пример 12.2. Определим радиальное перемещение на внешнем контуре и коэффициент запаса по допускаемым напряжениям для вращающегося диска постоянной толщины с центральным отверстием (рис. 12.25). На внешнем контуре диска действуют центробежные силы, внутренний контур диска свободен от нагрузок.

Рис. 12.25. К примеру 12.2

Дано: г, = 0,05 м; г₂ = 0,25 м; h = 0,01 м; со = 3000 об/мин; Е = 2- 10^м Па; v = 0,3; р = = 8,0−10³ кг/м³; q = 1,0−10⁵ Н/м; а_т = 500 МПа.

Решение. Для вычисления интенсивности радиального Т_г и окружного Т₍ усилий, вызванных вращением, воспользуемся формулами (12.46) и (12.47). Подсчитаем входящие в эти формулы величины:

Константы С, и С₂ определим из граничных условий:

Подставляя числовые значения, приходим к системе двух алгебраических уравнений относительно С_{ и С₂:

ИЛИ.

Решая систему, находим С, ~ 315 400 МПа-м; С₂ ~ -768,2 МПам³. Выражения для радиальных и окружных усилий запишутся в форме

Используя соотношения (12.34), получим зависимости напряжений от радиуса:

Графики изменения напряжений вдоль радиуса представлены на рис. 12.26. Максимальное напряжение возникает на внутреннем радиусе диска:

Поскольку радиальное напряжение на внутреннем контуре отсутствует, напряженное состояние в точках внутреннего контура диска одноосное. Отсюда.

Рис. 12.26. Графики изменения напряжений вдоль радиуса к примеру 12.2.

Радиальное перемещение на внешнем контуре диска составит