Определение напряжений в осесимметричных оболочках по безмоментной теории

Уравнения безмоментной теории могут быть получены из общих уравнений теории оболочек, если принять, что изгибная жесткость оболочки D = 0. Однако, учитывая практическую важность безмоментной теории, ниже эти уравнения выводятся традиционным путем в результате непосредственного анализа равновесия и геометрии деформирования оболочки.

Рассмотрим осесимметричную оболочку толщиной h (рис. 14.2). Осесимметричное нагружение является одним из наиболее распространенных случаев нагружения оболочек вращения. При этом в оболочке вращения отсутствует окружное перемещение v, а внутренние усилия зависят только от переменной 0 (рпс. 14.2, а) или s_m (рис. 14.2, б). В условиях осесимметричного нагружения работают баки, баллоны давления, резервуары и т. д.

Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений (см. рис. 14.2, б) выделим из оболочки элемент ds_m, ds_r представленный на рис. 14.3.

В силу сделанных предположений о безмоментном состоянии и симметрии оболочки в гранях элемента действуют только нормальные напряжения, касательные напряжения отсутствуют. Поэтому рассматриваемые грани совпадают с главными площадками. Напряжение, действующее по касательной к меридиану оболочки, называют меридиональным напряжением и обозначают ст_т. Напряжение, действующее вдоль параллели оболочки, называют окружным напряжением и обозначают ст,. Поскольку предпо;

Рис. 14.2. Геометрия срединной поверхности осесимметричной оболочки.

Рис. 14.3. К определению напряжений в безмоментной оболочке.

лагается, что напряжения распределены по толщине элемента постоянно, величины усилий, приложенных к грани, определяются произведением напряжений на площадь соответствующей грани. Величины усилий показаны на рис. 14.3.

В качестве внешней нагрузки, приложенной к элементу, рассмотрим усилие от нормального давления р, равное pds_mds_t.

Проецируя все силы на направление нормали, получим.

По определению, кривизны связаны с производными углов поворотов формулами.

Подставляя соотношения (14.2) в формулу (14.1), получаем.

Полученное соотношение известно под названием уравнения Лапласа^[1].

Для элемента, показанного на рис. 14.3, можно составить еще одно уравнение, проецируя все силы на направление оси оболочки. Это удобнее сделать не для элемента, а для части оболочки, отсеченной коническим нормальным сечением (рис. 14.4).

Рис. 14.4. К выводу уравнения равновесия.

Обозначая через F осевую равнодействующую всех действующих на отсеченную оболочку сил, получим.

Уравнение (14.4) позволяет сразу определить меридиональное напряжение а_т, действующее в рассматриваемом коническом нормальном сечении оболочки.

Величину равнодействующей поверхностного нормального давления интенсивности р, действующего на произвольную часть S оболочки (рис. 14.5), можно вычислить следующим образом.

Рис. 14.5. Поверхностное нормальное давление, действующее на произвольную часть оболочки.

На бесконечно малую площадь поверхности dS будет действовать нормальная сила, которая равна dF = pdS, а ее проекция на интересующее нас направление х составит.

Отсюда следует, что для определения равнодействующей нагрузки, действующей на часть поверхности оболочки S на направлении х, справедлива формула

Таким образом, проекция равнодействующей нормальных сил интенсивности р, равномерно распределенных па произвольной поверхности, на заданное направление определяется как произведение интенсивности действующих сил на площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению х.

Формулы (14.4) и (14.5) позволяют вычислить напряжение ст_га. Для определения второго напряжения а_г используется уравнение Лапласа (14.3). Необходимо упомянуть и о третьем главном напряжении, присутствующем в оболочке, — нормальном напряжении а_п или напряжении надавливания между слоями оболочки. В общей теории оболочек, построенной на гипотезах Кирхгофа — Лява, напряженное состояние в оболочке постулируется как двухосное, или плоское. Однако мы видим, что на поверхность оболочки со стороны нагрузки действует нормальное давление величиной р. Следовательно, реально в нормальном направлении все-таки существует напряжение a_rl, которое изменяется, но толщине от величины р на нагруженной поверхности до нуля на ненагруженной поверхности оболочки. С помощью уравнения (14.3) мы можем количественно оценить величину нормального напряжения а_п. Меридиональное и окружное напряжения имеют порядок и рсоответственно, в то время как нормальное напряжение п п

имеет порядокр. По определению, толщина оболочки много меньше других характерных размеров, в том числе и радиусов кривизны. Поэтому пренебрежение величиной нормального напряжения по сравнению с меридиональными и окружными напряжениями можно считать вполне оправданным.

Таким образом, два неизвестных напряжения а_т и а, можно определить, используя только уравнения равновесия (14.3) и (14.4), при этом уравнения совместности деформаций и закона Гука не используются.

При расчете стержневых конструкций такая ситуация была характерна для расчета статически определимых систем. Таким образом, безмоментную теорию оболочек можно рассматривать как статически определимый вариант теории оболочек. Следует особо подчеркнуть, что эго обстоятельство позволяет применять безмоментную теорию для анализа физически нелинейных задач, т. е. для материалов, не подчиняющихся закону Гука. Безмоментную теорию с успехом применяют и для исследования геометрически нелинейных задач. Но в этом случае принцип неизменности начальных размеров становится неприменимым и уравнения равновесия (14.3) и (14.4) необходимо составлять для текущего деформированного состояния оболочки.

Деформации безмоментной оболочки вращения в случае, если она изготовлена из линейно-упругого материала, определяются из закона Гука:

Представляет интерес радиальное перемещение, или изменение радиуса г безмоментной оболочки, которое можно вычислить следующим образом:

Условия существования безмоментпого напряженного состояния в оболочке конечной толщины строго доказываются. Вместе с тем эти условия физически достаточно ясны и кратко могут быть изложены в следующей форме.

• 1. Форма оболочки должна быть плавной, не должно быть разрывного изменения радиусов кривизны и скачкообразного изменения толщины оболочки.
• 2. Нагрузки должны быть равномерными или плавно изменяющимися. Не должно быть сосредоточенных сил или моментов, вызывающих значительное изменение кривизны.
• 3. Края оболочки должны быть закреплены так, чтобы не препятствовать свободным перемещениям оболочки в направлении нормали. На краях нс должны возникать поперечные составляющие сил опорных реакции и реактивные моменты.

При практических расчетах следует помнить, что даже если эти условия не полностью соблюдаются и в оболочке возникают изгибные зоны, безмоментная теория не теряет своего значения. Как правило, изгибные составляющие достаточно быстро уменьшаются по мере удаления от зоны возмущения, и уже на небольшом от нее расстоянии напряженное состояние можно рассматривать как безмоментное. На краях же оболочки, где возникают распределенные реактивные поперечные силы и (или) моменты, напряженное состояние можно рассматривать как сумму безмоментного состояния и так называемого краевого эффекта, т. е. местного изгиба стенки оболочки около края.

• [1] Пьер-Симон, маркиз дс Лаплас (Pierre-Simon dc Laplace, 1749—1827) — французскийматематик, механик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей.