Характерные случаи задачи Ламе

Цилиндр, нагруженный внутренним давлением. Рассмотрим цилиндр с днищами, нагруженный только внутренним давлением р, = р. В этом случае, согласно формулам (12.7) и (12.18), справедливы зависимости.

Эпюры распределения напряжений по радиусу приведены на рис. 12.4.

Рис. 12.4. Эпюры напряжений в цилиндре, нагруженном внутренним давлением.

Наиболее напряженная точка находится па внутренней поверхности. В этой точке.

Эквивалентное напряжение, подсчитанное согласно гипотезе прочности энергии формоизменения, составит.

Эквивалентное напряжение, подсчитанное согласно гипотезе прочности наибольших касательных напряжений, составит.

Проанализируем зависимость эквивалентного напряжения, подсчитанного согласно гипотезе прочности наибольших касательных напряжений, от размера внешнего радиуса цилиндра. В предельном случае при стремлении г₂ к бесконечности значение эквивалентного напряжения приближается к удвоенному внутреннему давлению.

Следуя условию прочности по допускаемым напряжениям, заключаем, что внутреннее давление, удерживаемое в толстостенном цилиндре, ограничивается значением.

Малое отверстие, нагруженное давлением в бесконечном пространстве. Рассмотрим цилиндр, нагруженный внутренним давлением р, внешний радиус которого г₂ —* °°. Поскольку г₂ УР r_v величиной г,² в формуле (12.20) можно пренебречь и записать выражения для радиального и окружного напряжений в следующем виде:

Таким образом, при отсутствии осевых напряжений все точки цилиндра находятся в напряженном состоянии чистого сдвига. Соответствующие эпюры представлены на рис. 12.5.

Рис. 12.5. Малое отверстие, нагруженное давлением в бесконечном пространстве

Анализируя эпюры, отмечаем, что с ростом радиуса нормальные напряжения быстро затухают. Так, при г > 4г₂ напряжения составляют менее 7% от максимальной величины. Отсюда можем сделать вывод о том, что если г₂ > 4r_v то цилиндр можно рассматривать как цилиндр бесконечно большого радиуса, поскольку форма внешнего контура тела уже не сказывается на напряженно-деформированном состоянии в окрестности малого отверстия. Если отверстий несколько, то, чтобы исключить взаимное влияние, необходимо, чтобы расстояние между отверстиями составляло не менее 8/ ,.

Цилиндр, нагруженный внешним давлением. Пусть цилиндр с днищами нагружен только внешним давлением р₂ = р. В этом случае согласно формулам (12.7) и (12.18).

Эпюры распределения напряжений по радиусу приведены на рис. 12.6. Наиболее напряженная точка находится на внутренней поверхности. В этой точке.

Эквивалентное напряжение, подсчитанное согласно гипотезе прочности энергии формоизменения, составит.

Эквивалентное напряжение, подсчитанное согласно гипотезе прочности наибольших касательных напряжений, составит.

Рис. 12.6. Эпюры напряжений в цилиндре, нагруженном внешним давлением.

Малое отверстие в бесконечном пространстве, нагруженном равномерным давлением по периферии. Рассмотрим цилиндр, нагруженный внешним давлением р, внешний радиус которого r₂ 5S> r_v Цилиндр находится в условиях плоского напряженного состояния (а, = 0). Для вычисления радиального и окружного напряжений воспользуемся формулами (12.23). Пренебрегая величиной г,², приходим к выражениям для радиального и окружного напряжений в следующем виде:

Соответствующие эпюры представлены на рис. 12.7.

Поскольку г₂ —" оо, форма внешнего контура не имеет значения, и задачу можно рассматривать как малое отверстие в бесконечном пространстве, нагруженном равномерным давлением по периферии. Анализируя эпюры, отмечаем, что напряженное состояние в основном объеме является двухосным сжатием а_г = ст, = —р, за исключением локальной зоны малого отвер;

Рис. 12.7. Малое отверстие в бесконечном пространстве, нагруженном равномерным давлением по периферии стия, на границе которого реализуется одноосное сжатие ст, = 0, а, = -2р. В этой зоне возникает явление, известное как концентрация напряжений, с коэффициентом концентрации k = 2.