Синтез оптимальных по критерию обобщенной работы систем управления

Рассмотрим снова задачу синтеза алгоритма управления для управляемой системы (10.55) методом декомпозиции. Однако в качестве критерия оптимальности при синтезе оптимальных алгоритмов управления для подсистем (10.56а) примем критерии

которые относятся к классу критериев обобщенных работ. Здесь — оптимальное управление, которое предстоит определить.

Оптимальное управление с точностью до обозначений матрицы усиления (вместо К к используется Рк) имеет такой же вид, как и в предыдущем случае (см. (10.57а)),.

Однако в данном случае матрица Рк определяется из линейных матричных уравнений.

а не из нелинейного уравнения (10.576).

Критерий оптимальности при подстановке выражения для и* принимает вид.

Уравнения замкнутых подсистем и замкнутой агрегированной системы, а также функции Веллмана получим, если вместо Кк подставим Рк в соотношения (10.58), (10.59) и (10.60). Но производные по времени от функций Веллмана, вычисленные в силу синтезированных подсистем, отличаются от (10.61) и имеют вид.

где Действительно, продифференцировав по времени функции Ляпунова Sk = х⁽*>^тР*х^(Аг) в силу уравнений синтезированных подсистем, находим

Отсюда, учитывая (10.646), получим.

Формулы для элементов матрицы D системы сравнения в данном случае отличается от формулы (10.63) только тем, что минимальное и максимальные собственные значения матрицы К заменяются на минимальные Д?* и максимальные AjJ собственные значения матриц Pfc, а минимальные собственные значения ?^к матриц К к — на 342.

минимальные значения ^^к матриц Р*:

Методика решения задачи оптимальных синтеза управления методом декомпозиции принципиально не зависит от числа и порядка подсистем. Поэтому для простоты в качестве примера рассмотрим синтез оптимального по критерию обобщенной работы алгоритма управления для управляемой системы, которая при декомпозиции разбивается на две подсистемы второго порядка.

Пример 10.7. Управляемая система описывается уравнениями.

где а > 0, /? > 0.

Решение. Разобьем эту систему на две подсистемы и запишем ее в векторной форме.

Отбросив слагаемые, определяющие взаимосвязи, получим две независимые подсистемы.

Для каждой из этих подсистем определим оптимальные алгоритмы управления, приняв в качестве критериев оптимальности функционалы (обобщенные работы).

В данном случае.

и уравнения (10.646) принимают вид.

Переумножив матрицы и учтя, что Р и Р2 являются симметрическими матрицами, запишем приведенные матричные уравнения в виде следующих эквивалентных систем уравнений:

или Решив эти системы уравнений, получим.

Для оптимальных управлений находим (см. (10.64а)).

Матрицы Pi и Р2 принимают вид (см. (10.64в)).

Для нахождения элементов матрицы D системы сравнения нужно найти собственные значения матриц Pi, Р2, Pi и Р2. Составив характеристические уравнения для этих матриц и решив их, найдем р р собственные значения Х_х для матриц Р* и собственные значения Х_х '₂ для матриц Pi (г = 1,2):

Отсюда для минимальных и максимальных собственных значений А?‘ и Ajj матриц Р", а также минимальных собственных значений Х%* матриц (г = 1,2) получаем.

Взаимосвязи удовлетворяют следующим условиям:

Поэтому имеем (см. (10.556)).

Теперь определим элементы матрицы D системы сравнения (см. (10.65)):

Отсюда получаем:

В соответствии с критерием Севастьянова-Котелянского система сравнения и соответственно синтезированная агрегированная система будут устойчивы, если или

Устойчивость системы сравнения является достаточным условием устойчивости соответствующей агрегированной системы. Поэтому из неустойчивости системы сравнения не следует, что агрегированная система не будет устойчива. В рассмотренном примере получилось, что устойчивость системы сравнения не зависит от параметров критерия оптимальности q и г. Однако это не значит, что устойчивость и соответственно качество агрегированной системы также не зависят от этих параметров.

Задачи

1. Определить оптимальный закон управления (управление с обратной связью) в следующих задачах оптимального управления:

2. Определить оптимальный закон управления (управление с обратной связью) в следующих задачах оптимального управления:

3. Определить оптимальный закон управления (управление с обратной связью) в следующих задачах оптимального управления:

4. Определить оптимальный закон управления (управление с обратной связью) по критерию обобщенной работы в следующих задачах оптимального управления: