Школа Лейбница. 
История и философия науки: философия математики

Основные успехи математического анализа в первые два века после его создания в основном связаны именно с традицией материального эфира. Наиболее значительный вклад в развитие анализа внесли последователи Лейбница. В первую очередь речь пойдет о представителях семьи Бернулли. К школе Лейбница, понимаемой в широком смысле, следует также отнести Ж. Даламбера и Л. Эйлера. Математическому творчеству Даламбера и Эйлера будут далее посвящены отдельные главы.

Итак, Лейбниц сделал очень важный и принципиальный шаг. Он начал строить модель упругого механического светоносного эфира, состоящего из бесконечно малых частиц. Для описания такой модели эфира потребовались трансцендентные функции. Но как описать эти трансцендентные кривые? Лейбниц рассуждал следующим образом. Пусть у нас есть графическое или табличное представление некоторой кривой. Следующим шагом в ее исследовании будет построение дифференциального уравнения. Уравнение строится с использованием построения касательной. А уже затем необходимо интегрировать это уравнение. Это и есть задача квадрировапия. Если квадрировать в конечном виде не удается, то тогда необходимо задействовать аппарат разложения в бесконечные ряды, как правило, с использованием метода неопределенных коэффициентов Декарта.

Теперь осталось всего ничего — реализовать этот грандиозный план и квадрировать все, что сможем квадрировать. Ответим на вопрос: а зачем находить квадририрующую кривую? Получается, что исходная кривая характеризуется через другую кривую. Изначально у Лейбница были надежды на то, что каждой исследуемой кривой будет поставлена в соответствие квадрирующая ее элементарная функция, т. е. более простая кривая. Таким образом, функции сводили «к разнообразным дифференциальным уравнениям первого порядка. Интегрирование их прежде всего пробовали осуществить с помощью функций, выражающихся конечным числом алгебраических действий или уже содержащих элементарные трансцендентные»^[1].

Тогда такой механизм решения дифференциальных уравнений был бы оправдан с гносеологической точки зрения. Ведь это было сведение неизвестного к известному, а это и есть в конечном счете процесс познания. Однако достаточно быстро выяснилось, что квадрирование в элементарных функциях является весьма редким процессом. Более распространено квадрирование в конечном виде. «Но вскоре нашли, что в таком виде проблема интегрирования дифференциальных уравнений вообще неразрешима, и к делу привлекли неопределенные интегралы, т. е. стали искать решение дифференциальных уравнений в квадратурах»^[1].

Но основная масса функций, получаемых при интегрировании, оказалась доступна лишь операции разложения в бесконечные ряды. Причем сначала надеялись, что это будут бесконечные степенные ряды, но потом атомист Фурье предложил более эффективные тригонометрические ряды.

Школу Лейбница очень интересовала классификация дифференциальных уравнений, так как часть из них решалась в элементарных функциях, часть — в квадратурах, а часть — только в бесконечных рядах. «Исследование этой задачи, очевидно, требовало классификации уравнений, которая не интересовала Ньютона, удовлетворявшегося решениями в форме бесконечного ряда»^[3]. Атомизм вполне удовлетворялся разложением в актуально бесконечный ряд, ибо бесконечное есть стихия атомизма.

Для традиции материального эфира актуальная бесконечность была неприемлема. Поэтому Лейбниц и его последователи всеми силами стремились добиться интегрирования в конечном виде. Если же это, к их сожалению, не получалось, то они использовали бесконечные ряды, но достаточно быстро стали предъявлять к рядам претензии. Это вылилось в огромную проблему сходимости рядов и различных видов остаточных членов. Эти остаточные члены формально ограничивали ряд, как бы вырывая его из лай актуальной бесконечности.

Сначала силу нового метода опробовали на решении разрозненных задач, подступая к классификации дифференциальных уравнений. Первой такой задачей была задача о «форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки»^[4]. Эта линия — парацетрическая изохрона — имеет вид полукубической параболы. Это установили Лейбниц и Гюйгенс. А Я. Бернулли опубликовал этому доказательство, используя уже новое исчисление. Причем эта была первая публикация Я. Бернулли по исчислению бесконечно малых.

Бернулли составил дифференциальное уравнение искомой кривой в виде yjb^[3]y — a^[4] dy — fa^dx, а затем сумел проинтегрировать обе части данного дифференциального уравнения. В итоге он получил уравнение.

Интегрирования данного выражения не составило большого труда, так как переменные разделены. Дифференциал по у находится в левой части уравнения, а дифференциал по х — в правой части. Эта была весьма важная задача, характеризующая движение тяжелого тела в рамках новой модели упругого эфира.

Не менее важна для эфирной традиции была и следующая задача, поставленная Я. Бернулли как раз в конце его первой работы, о которой говорилось чуть выше. Эта была задача «о кривой, по которой располагается под действием тяжести однородная гибкая нить, подвешенная за два неподвижных конца»^[7]. Эта кривая называлась цепной линией. Задача о цепной линии имела очень долгую и очень громкую историю, поэтому ее решение должно было привлечь к новому исчислению всеобщее внимание.

Еще Л. Жирар в 1634 г. предположил, что этой линией будет парабола. Галилей был не согласен с этой точкой зрения, но так и не дал характеристики кривой, удовлетворяющей условиям. В 1646 г. Гюйгенс установил, что «форму параболы имеет подвешенная за два конца нить, на которую действует нагрузка, равномерно распределенная вдоль горизонтали»^[4]. Теперь на вызов Я. Бернулли ответили сразу три математика — Лейбниц, Гюйгенс и И. Бернулли. Правда, они еще не смогли дать аналитическое выражение цепной линии, так как не имели обозначения для показательной степени. Сейчас уравнение цепной линии записывается следующим образом:

Но они дали геометрическое построение ординат цепной линии по двум симметричным относительно оси логарифмическим кривым. Этими симметричными кривыми как раз и являются е^х/° и е~^х'/^а. «Лейбниц и И. Бернулли решили ее с помощью нового исчисления, Гюйгенс же, который никогда не сумел как следует освоиться с ним, исследовал ее старым методом. При этом они пришли к одинаковому результату, и, таким образом, задача о цепной линии явилась первым пробным камнем для испытания правильности и применимости нового исчисления»^[9].

В 1691—1692 гг. Я. Бернулли исследовал различные свойства логарифмической спирали методами нового исчисления. Он обнаружил весьма поразившие его свойства этой спирали. Так, эволюта и каустика логарифмической спирали также являются логарифмическими спиралями. Я. Бернулли завещал изобразить эту спираль на своем надгробье со словами «измененная, я возрождаюсь прежней». В 1696 г. И. Бернулли поставил очень важную и интересную задачу о кривой наибыстрейшего спуска — брахистохроне. В решении этой задачи приняли участие Лейбниц, Ньютон и Я. Бернулли. Задача о брахистохроне открывала путь к постановке задач вариационного исчисления, которое будет создано в XVIII в.

В этот же период впервые появляются эллиптические интегралы. Это был очередной задел на будущее. Изучению эллиптических интегралов будут посвящены многие исследования крупнейших математиков уже XIX в. Сначала Я. Бернулли пришел к эллиптическим интегралам при спрямлении дуги параболической спирали вида (а — р)^[10] = бср. «При этом Я. Бернулли установил равенство некоторых определенных дуг спирали, длину которой не мог выразить в известных ему функциях. Отправляясь от этого наблюдения, И. Бернулли пришел к постановке важного в теории эллиптических интегралов вопроса о разыскании кривых со спрямляемой суммой и разностью дуг»¹. В XIX в. проблема суммирования эллиптических интегралов была одной из важнейших тем исследования в этой области.

В 1698 г. Я. Бернулли снова встретился с эллиптическими интегралами. Это произошло «при изучении упругой кривой, форму которой получает заделанная одним концом в стене упругая пластина под действием силы, приложенной к другому концу»^[10]. Я. Бернулли выразил эти интегралы не в конечной форме, а в форме бесконечных числовых рядов:

Кстати, в этом же исследовании встречается выражение для радиуса кривизны, которое определяет изгибающий момент упругой пластины.

Уделим еще немного внимания представлениям кривых в виде бесконечных рядов. Напомним, что Лейбниц и его последователи хотели проинтегрировать все кривые в конечной форме, поэтому вначале они лишь вынужденно использовали бесконечные ряды. И лишь ко времени Эйлера стало вполне очевидно, что без бесконечных рядов принципиально не удастся обойтись. Я. Бернулли выпустил первые руководства по бесконечным рядам в своих пяти больших диссертациях. «В своем труде Бернулли привел два новых метода суммирования числовых рядов. Один из них заключался в том, что бесконечный ряд разлагается на бесконечную сумму рядов, которые Я. Бернулли умел суммировать; другой способ не выдерживает серьезной критики»^[9].

В 1694 г. И. Бернулли опубликовал свой бесконечный ряд, который он считал универсальным и применимым к любому интегрированию любых дифференциальных уравнений. Это была весьма общая формула разложения в ряд интеграла функции п{г) по степеням аргумента. Коэффициенты в этом случае можно выразить через производные этой функции. Бернулли получил этот ряд из очевидного для него тождества.

Этот ряд он попарно сгруппировал и почленно проинтегрировал, получив.

История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 276.

Ряд Бернулли тесно связан с рядом Тейлора. Но он был получен из других соображений, чем последний. И. Бернулли также принадлежит очень интересное разложение в ряд интеграла функции вида X^х:

К этому результату И. Бернулли пришел во время работы над проблемой вычисления дифференциала общей показательной функции. Он занимался этой проблемой параллельно с Лейбницем, который осуществил «логарифмическое дифференцирование величины u^v, которую и назвал показательной»^[13].

Следует еще рассмотреть вопрос интегрирования рациональных дробей. Лейбниц и И. Бернулли осуществляли это интегрирование посредством представления их в виде сумм простейших дробей. Предварительно они выделяли целую часть. «Интегрированию рациональных дробей Лейбниц придавал тем большее значение, что надеялся свести к нему интегрирование любых иррациональностей. В этой связи он подчеркивал важность дальнейшей разработки диофантовой алгебры, имея в виду методы приведения иррациональных выражений к рациональным»^[14].

Таким образом, реализовалась бы главная цель Лейбница и его последователей — описание иррационального. А это действительно связано с расширением границ применения диофантовой алгебры.

Но вернемся к дифференциальным уравнениям и их классификациям. Достаточно быстро было выявлено простейшее дифференциальное уравнение — однородное уравнение первого порядка: dy/dx = f{y/x). Прием его решения первым изложил И. Бернулли, хотя этот прием был известен и Лейбницу. Прием решения заключался в использовании подстановки у = = xt.

Напомним, что любые подстановки подразумевают использование общей методологической установки Диофанта. Поэтому они не использовались атомистами, которые искали разложение функций в степенные ряды (Ньютон), ряды по шаровым функциям (Лаплас) или тригонометрические ряды (Фурье, Кантор). Школа же Лейбница активно использовала наследие Диофанта и для первоначального преобразования дифференциальных уравнений. Так, тот же И. Бернулли свел более сложное дифференциальное dy _г{ а, х + Ь, у + с, '.

уравнение вида -f- = J ——— к простейшему однородному под;

dx а₂х + Ь₂у + с₂)

становками х=Ъ, + апу = у + ^>. Эти приемы позволяли привести данное дифференциальное уравнение к уравнению с разделенными переменными, в котором одни переменные находились слева, а другие — справа. Поэтому их можно было так же просто интегрировать, как члены бесконечного ряда.

Следующим анализируемым дифференциальным уравнением было линейное дифференциальное уравнение. Предварительно И. Бернулли решил менее общее дифференциальное уравнение. «В 1697 г. Бернулли проинтегрировал уравнение, часто называемое по его имени, ady = ypdx + + byⁿqdx, где а и h — постоянные, ар и q — функции одногох. Для этого он представил у в виде произведения двух новых переменных и показал, что при подстановкеу^х~^п= v это уравнение переходит в линейное дифференциальное уравнение первого порядка»^[15].

Наконец, к 1700 г. И. Бернулли смог решить линейное дифференциальное уравнение вида.

Бернулли сделал это, используя новую операции — последовательное понижение порядка с помощью интегрирующего множителя х''. Интегрирующий множитель позволяет преобразовывать исходную кривую в пересечение двух кривых. Одна из пересекающихся кривых является интегрирующим множителем х>', а вторую кривую пытаются интегрировать снова, но она, очевидно, становится более простой за счет уменьшения степени. Именно методу интегрирующего множителя суждено было стать универсальным методом для решения дифференциальных уравнений в XVIII в.

Но общего решения дифференциального уравнения первого порядка вида /(.г, у, dy/dx) получить не удалось. Тогда И. Бернулли предложил обходной маневр. Он использовал общий прием построения всех интегральных кривых при помощи изоклин в определяемом уравнением ноле направлений, г. е вместо чисто аналитического решения дифференциального уравнения предложил геометрическое построение. Бернулли поясняет свой прием на примере решения дифференциального уравнения x²dy + y²dx — a²dy (рис. 2.9). Бернулли рассуждает следующим образом: «Допустим же, что dx относится к dy, как постоянная и известная а к неопределенной и неизвестной т, так что неопределенное отношение а к т выражает все мыслимые отношения dx к dy. Тогда в данное дифференциальное уравнение можно будет подставить а и т вместо dx и dy, что дает такое алгебраическое уравнение х² + у² = am, которое, содержа три неопределенные, выражает не одну, а бесконечное множество кривых, которые я называю направляющими и которые в данном случае суть концентрические круги с радиусами yfam»².

Искомые интегральные кривые пересекаются с изоклинами (направляющими) в точках, в которых касательные имеют один и тот же наклон. Каждая интегральная кривая состоит из бесконечно малых отрезков между этими точками изоклин. Бернулли четко определяет, что таким способом строится бесконечное множество интегральных кривых: «Вот, таким образом, метод, найденный мною для общего построения дифференциальных уравнений. Он может широко использоваться на практике, когда удовлетворяются механическим построением, и чем больше приводится приближающихся друг к другу направляющих кривых, тем более приближаются к исходной истинной кривой. Кроме того, таким образом одинаково легко строятся все дифференциальные уравнения, без применения каких-либо спрямлений и квадратур, между тем как обычный метод после преодоления величайшей трудности при отделении неопределенных (что, однако, чаще всего невозможно) требует еще спрямления и квадратуры, из-за чего его применение делается, так сказать, непрактичным»¹.

Рис. 2.9.

Естественно, что метод изоклин был промежуточным решением, так как общего способа решения дифференциальных уравнений первого порядка в этот период найти не удалось.

В заключение рассказа о первом этане построения решений дифференциальных уравнений следует упомянуть о еще двух решениях. В 1695 г. Лейбниц привел линейное дифференциальное уравнение первого порядка dy/dx — р (х)у + q{x) к виду с разделяющимися переменными, представив искомое решение в виде произведения у = иъ Все вышеприведенные решения дифференциальных уравнений позволили описать множество частных задач колебания светоносного упругого эфира Лейбница.

• [1] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 169.
• [2] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 169.
• [3] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 278.
• [4] Там же. С. 271.
• [5] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 278.
• [6] Там же. С. 271.
• [7] История математики с лревнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 271.
• [8] Там же. С. 271.
• [9] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 133.
• [10] Там же. С. 276.
• [11] Там же. С. 276.
• [12] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 133.
• [13] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 272.
• [14] Там же. С. 278.
• [15] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 170.