Толстостенная труба под действием внутреннего давления в условиях ползучести

Рассмотрим бесконечно длинную толстостенную трубу под действием постоянного во времени радиального внутреннего давления (рис. 4.20). Задача является осесимметричной.

Рис. 4.20.

Найдем ее напряженно-деформированное состояние, предполагая, что:

• • деформированное состояние трубы плоское, т.с. осевая деформация равна нулю (е_г = 0);
• • материал трубы нс сжимаем (е_г + г_ф + е_г= 0);
• • упругие деформации по сравнению с деформациями ползучести пренебрежимо малы;
• • уровни напряжений и температура таковы, что ползучесть можно считать установившейся.

В качестве теории ползучести примем теорию течения, согласно которой скорости деформаций ползучести и напряжения в цилиндрической системе координат принимают вид.

обобщенная скорость деформаций.

ползучести; п и В — экспериментально определяемые константы материала.

Так как ползучесть установившаяся, то скорости деформаций ползучести, скорости перемещений и напряжения (в силу соотношений (4.46)) будут функциями только одной переменной г — текущего радиуса (а < г < Ь) и математическая модель задачи приводится к следующей системе уравнений (см. уравнения (4.43)—(4.45)):

• уравнения равновесия.

физические coot ношения.

• геометрические соотношения.

К этой системе уравнений следует добавить условие несжимаемости материала и граничные условия:

Подставив в условие несжимаемости (4.50) выражения деформаций ползучести (4.49), получим.

Решение этого уравнения известно:

где С — подлежащая определению константа.

Разность скоростей деформаций ползучести с учетом равенства (4.52) будет равна Выразим обобщенное напряжение сначала через скорости деформаций ползучести, затем — через текущий радиус, тогда.

Теперь разность напряжений можно записать в виде.

С помощью равенств (4.48) и (4.53) найдем.

Подставим это выражение в уравнение равновесия (4.47):

Проинтегрировав полученное выражение, найдем радиальное напряжение:

Константы С и D определяются из граничных условий (4.51):

Они оказываются равными.

Подставляя найденные константы в выражение (4.54), получим окончательное выражение для радиального напряжения.

Найдем расчетную формулу для окружного напряжения. Из уравнения равновесия и формулы (4.55) получим.

Из условия несжимаемости (е,. + е_ф = 0) и выражений (4.48) следует, что.

По определению, а = (а_г + а_ф + ст_г)/3. С учетом этих равенств будем иметь.

Из выражений (4.55) и (4.56) ясно, что напряжения в трубе при постоянном во времени внутреннем давлении не зависят от времени.

На рис. 4.21 приведены эпюры напряжений, рассчитанных для трубы (а = 20 мм, b = 50 мм) при внутреннем давлении р_и = 30 МПа. Материал трубы испытывает ползучесть (п = 4,477).

Рис. 4.21.

На рис. 4.22 показаны эпюры радиальных и окружных напряжений для той же трубы при се упругом деформировании.

Рис. 4.22.

Интересно отметить, что распределение по своду трубы окружных напряжений при установившейся ползучести отличается от распределения окружных напряжений в упругой трубе не только количественно, но и качественно.

В трубе при ползучести се материала окружные напряжения принимают максимальные значения в точках, прилегающих не к внутренней, а к внешней поверхности трубы.

Графики, приведенные на рис. 4.23, показывают, что на распределение напряжений существенное влияние оказывает величина параметра п.

Получим расчетную формулу для радиального перемещения.

Из выражения (4.52) находим.

Постоянная интегрирования К определяется из начального условия и" (г, t = 0) = 0: К = 0, и окончательно.

Здесь В ип — параметры материала, определяемые по кривым ползучести.