Примеры решения задач

Задача* 10.1. Тело начинает двигаться из состояния покоя под действием силы F. Найти зависимость скорости тела от времени. Сравнить с классическим результатом.

где и (/) — скорость тела в момент времени Г, причем и (0) = 0. ИнтегриРешение. Так как скорость тела в этом случае будет направлена вдоль линии силы, можно записать основное уравнение динамики в скалярной форме:

руя, находим:

где а_сЛ = F/m — классическое ускорение тела. Возводя уравнение в квадрат, получаем зависимость скорости от времени:

Таким образом, в любой момент времени и (/)<�с, а при t—>оо скорость тела становится все ближе к скорости света (см. рис. 10.8). В случае небольших значений времени (/ «с/а_(Л) мы получаем результат классической нерелятивистской механики для равноускоренного движения:

Приведем численные оценки. Пусть ракета движения с ускорением (классическим) a_cl = g = 9,8 м/с² (т. е. космонавты испытывают привычную земную силу тяжести). Согласно классическому закону движения ракета достигнет скорости света через время t_cX = с/а_с1 = 3 -10^х/9,8 = = 3,06*10⁷ с, т. е. примерно через год. На самом деле в этот момент времени ее скорость будет.

Через два года пути скорость станет равной.

через пять лет будет о (5/_С|) = с/->] + 0,04 = 0,891 с;

через 10 лет получим)(10/₍.,) = с/д/l + 0,01 = 0,995 с, и т. д.

Сколько бы времени ни ускорялась ракета, ее скорость никогда не достигнет скорости света.

Задача 10.2. Тело со скоростью)₀ налетает перпендикулярно на стенку, двигающуюся ему навстречу со скоростью о. Пользуясь формулами для релятивистского сложения скоростей, найти скорость и, тела после отскока. Проанализировать предельные случаи, если удар абсолютно упругий, масса стенки намного больше массы тела. Найти скорость г), если р₀ =г> = с/3.

Решение. Воспользуемся правилом сложения скоростей в релятир' + и вистскои механике: d_v =——.

1 + 1)>/с²

Отсюда получим формулу для обратного преобразования:

где v — скорость системы отсчета к' относительно системы к. Направим ось д; вдоль начальной скорости тела о₀ и свяжем систему отсчета к' со.

стенкой. Тогда u_v =и₀ и о = -1). В системе отсчета, связанной со стенкой, начальная скорость )'₀ тела, согласно уравнению (1), равна:

Поскольку стенку можно считать бесконечно массивной, по закону сохранения энергии после упругого удара тело отскочит в обратном направлении с гем же (относительно стенки) абсолютным значением скорости:

Вернемся теперь назад в систему отсчета к. Подставляя в и'+о.

)_х =-¹j о, вместо о_х. и учитывая, что = после преооразо-

1 + )'_х) / с

ваний находим искомую скорость:

Проанализируем предельные случаи.

• 1. Если скорости тела и стенки малы (о₀ « с, ъ « с), то можно пренебречь всеми членами, где эти скорости делятся на скорость света. Получаем тогда из (2) результат классической механики о, = -(и₀ + 2и): скорость шара после отскока увеличивается на удвоенную скорость стенки и направлена, естественно, противоположно начальной. Ясно, что в релятивистском случае этот результат не годится. Из него следует, что скорость тела после отскока будет равна о, = -с, чего не может быть.
• 2. Пусть теперь на стенку налетает тело двигающееся со скоростью света (например, луч света отражается от двигающегося зеркала).

Подставляя i)₀ =с в соотношение (2), получаем

Отсюда видно, что скорость луча света изменила направление, но не свою абсолютную величину, как и должно быть.

3. Рассмотрим теперь случай, когда стенка движется с релятивистской скоростью: х>—>С. В этом случае (2)дает нам

То есть тело после отскока также будет двигаться со скоростью, близкой к скорости света.

• 4. Наконец, подставим в (2) значения o₀ = i) = e73, тогда о, = -0,78с. Таким образом, в отличие от классической механики, теория относительности дает для скорости после отскока значение, меньшее скорости света.
• 5. Посмотрим, что случится, если стенка удаляется от тела с той же скоростью (и = —о₀). В этом случае из (2) получим:

Как и в классической механике, тело стенку не догонит, и его скорость не изменится.

Задача 10.3. В ускорителе электронов — бататроне — частицы приобретают энергию Е_к = 0,67 МэВ. До какой скорости разгоняются электроны? Дано; Решение. Кинетическая энергия релятивист

Е_к = 0,67 МэВ = 1,072−10 ¹³ Дж 1) — ?

ской частицы находится по формуле:

где р = )/с — скорость частицы, выраженная в долях скорости света. Отсюда запишем:

Скорость, до которой разгоняют электроны: о = рс,.

Ответ: о = 2,71 • 10^х м/с. Задача 10.4. Поток энергии, излучаемый Солнцем, Р = 410²⁶ Вт. За какое время масса солнца уменьшится в 2 раза? Излучение Солнца считать постоянным.

Дано: Решение. Изменение массы системы на Ат соот-

р = 4 -10²⁶ Вт ветствует изменению энергии системы на величину тр/т = 0_

* • За время t при постоянном излучении Солнце вы

делит энергию АЕ = Pt_y а потеряет при этом массу Ат = m, где w₀ ⁼ 1,98 -10¹⁰ кг — масса Солнца. Тогда

Ответ: t = 0,74 10*" с. Задача 10.5. Реакция деления ядра урана сопровождается выделением энергии АЕо = 200 МэВ. Определите изменение массы Ат при делении одного моля урана.

Дано: Решение.

Д?₀ = 200 МэВ = изменение массы: Ап, = Ц-.

3,2−10' Дж с²

v= 1 моль при делении v молей урана освобождается.

N_А = 6,022 • 10²³ энергия: АЕ = AEovN_a,.

д_т _ 9 где А?₀ — энергия, освобождаемая при делении одного ядра, N_a — число Авогадро.

Исходя из этого получим:

Ответ: Ат = 0,2 • 10~² кг.

Задача 10.6. Электрон движется со скоростью о = 0,6с. Определите релятивистский импульс и кинетическую энергию электрона. д_ан_0: Решение. Релятивистский импульс р определяется, но и ^_0,6сформуле: р = ^m°^V —, где то = 9,1*10 ³¹ кг — масса покоя р-чк-ч электрона. Подставив численные данные, для импульса получим: Кинетическая энергия релятивистской частицы:

Ответ: р = 2,05 • 10'²²; К = 20,5 • 10'¹⁵ Дж.

с.