Д. 3. 2. Дискретная динамическая модель продольных колебаний стержня

Рассмотрим однородный стержень постоянного поперечного сечения, подвергающийся действию каких-либо осевых динамических нагрузок (рис. Д. 20, а).

Дискретную модель его продольных колебаний получают путем мысленного разбиения стержня на km частей длиной AL и сосредоточения массы т каждой части в ее центре с координатой x_jf i = 1, 2, 3,п.

Массы без трения скользят по горизонтальной плоскости вдоль оси стержня и соединяются невесомыми связями, свойства которых идентичны свойствам моделируемого участка стержня (рис. Д. 20, в).

При колебаниях скорость деформации высокая, поэтому закон Гука изза упругих несовершенств материала не выполняется, так как проявляется вязкость материала.

В этом случае, как указывалось выше, закон Гука заменяется соотношением, согласно которому зависимость между напряжением, деформацией и ее скоростью имеет вид.

где R — модуль вязкости материала (размерность [Н с/мм²] или [Па-с]). В этом случае материал считают вязкоупругим, его вязкость приводит к затуханию колебаний.

Продольная жесткость и вязкость участка стержня в модели приписываются связям, которые на рисунке изображены пружинками: с = ЕЛ/AL, г = = RA/AL.

Таким образом, дискретная модель продольных колебаний стержня представляется сосредоточенными массами, которые соединены пружинками, обладающими вязкоупругим и свойствами.

На рис. Д. 21 показаны участок стержня и соответствующий ему фрагмент дискретной модели.

Рис. Д.21

Если на рассматриваемый участок стержня действует внешняя возмущающая сила F/t), то ее необходимо приложить к ближайшей массе (см. рис. Д.20).

В случае нагружения распределенной погонной нагрузкой интенсивности р (х) (рис. Д.22) следует найти ее равнодействующую на рассматривае;

мом участке F_jf при этом можно использовать среднее на этом участке значение интенсивности погонной нагрузки р_г

Рассматриваются малые осевые перемещения масс (и•) около положений их равновесия.

Составим уравнение движения i-й массы. Для этого, используя процедуру метода сечений, необходимо мысленно рассечь примыкающие к ней связи модели и_заменить их действие на рассматриваемую массу нормальными силами iV._, и (рис. Д.23).

Напомним, что в рассматриваемой модели массы без трения перемещаются только в осевом направлении.

Уравнения движения промежуточных (1, …, km — 2) масс системы под действием сил записываются в обычной форме:

Здесь u^t) — осевое перемещение массы; F_{(t) — внешняя (возмущающая) сила, приложенная в каком-либо сечении i-ro участка стержня. Точками обозначено дифференцирование по времени.

Здесь записаны уравнения движения масс, расположенных внутри цепочки. Силы, действующие на крайнюю левую и крайнюю правую массы, зависят от условий закрепления концов стержня, т. е. от граничных условий.

Если левый конец стержня закреплен, то при колебаниях левая и правая связи, примыкающие к «нулевой» массе, деформируются и она подвергается действию двух сил (рис. Д. 24, а):

Здесь Е — модуль упругости; R — модуль вязкости материала участка стержня.

Если левый конец стержня не закреплен, то при колебаниях левая связь не деформируется и на «нулевую» массу действует только сила N_{ (рис. Д. 24, б).

Установив силы, действующие на массы модели, можно записать уравнения их движения. Для этого выразим внутренние силы N_i и JV)_, через осевые перемещения и скорости соответствующих масс (рис. Д.25).

Рис.Д.25

Умножив выражение (Д.44) на площадь сечения А;.

и учитывая, что.

получим формулы для вычисления нормальных сил:

Подставляя выражения для нормальных сил в приведенное выше уравнение (Д.45), получим уравнение движения г-й массы в следующем виде:

При рассмотрении неоднородного стержня переменного сечения возникает необходимость в определении жесткости и вязкости соседних участков его динамической модели (рис. Д.26).

В этом случае они рассчитываются по формулам.

Однако при разбиении стержня на достаточно большое количество участков можно жесткость и вязкость переходного участка принять равными жесткости и вязкости либо правой, либо левой его половины. При этом ошибка будет незначительной.

Для определения движения всех п масс модели необходимо записать п дифференциальных уравнений, аналогичных уравнению (Д.46).

Эта система уравнений интегрируется при заданных начальных условиях, которыми являются перемещения масс и их скоростей в начальный момент времени (t = 0):

Пример Д. 4. Однородный стержень постоянного поперечного сечения закреплен по концам и нагружен в среднем сечении силой F (t) = Fasin (wt) (рис. Д.27). Найти зависимость максимального напряжения в стержне от частоты возмущающей силы.

Рис. Д.27

Решение. Ниже представлено решение задачи, выполненное в системе Mathcad.

Параметры стержня (II, МПа, с, мм, кг):

Здесь Н — коэффициент вязкости материала.

Параметры модели (номер массы (/), величина (mi) и количество масс (km)):

Жесткость и вязкость связей (с, г), номер (is):

Нагрузки, входящие в правые части уравнений движения: Задание начальных перемещений и начальных скоростей масс:

Определение перемещений сечений стержня u (t):

Перемещение масс:

Скорость перемещений масс:

Па рисунке показано перемещение 7-й массы во времени:

На рисунках приведены эпюры перемещений масс в фиксированные моменты времени:

Результаты расчетов:

На рисунках приведены эпюры нормальных напряжений в различные момент времени:

Резкий рост напряжений при приближении частоты возмущающей силы к 500 с ¹ объясняется, по-видимому, тем, что эта частота близка к одной из собственных частот стержня.

Найдем первые три собственные частоты стержня и проверим наше предположение.

Собственные частоты стержня:

В самом деле, частота omf₆ = 500 с ¹ близка к первой собственной частоте стержня.

Пример Д. 5. Однородный стержень постоянного поперечного сечения на половине длины нагружен равномерно распределенной погонной нагрузкой (рис. Д.28). Сравнить максимальные нормальные напряжения в стержне при его статическом и динамическом нагружениях (при динамическом нагружении нагрузка мгновенно достигает своего максимального значения и далее остается постоянной).

Рис. Д.28

Решение. Ниже представлено решение задачи, выполненное в системе Mathcad.

Параметры стержня (Н, МПа, мм, с, кг):

Здесь Fa — равнодействующая погонной нагрузки (Н), h и Ь — размеры прямоугольного поперечного сечения стержня (мм), М — масса стержня (кг), Я — коэффициент вязкости материала.

Статика:

Параметры модели (номер массы (г), величина (/я[/|) и количество масс (km)):

Жесткость и вязкость связей ©, номер (is) и количество (ks):

Возмущающие силы, входящие в правые части уравнений движения:

На рисунке показана постоянная во времени сила, действующая на 9-ю массу модели:

Определение перемещений сечений стержня u (t)

Задание начальных перемещений и начальных скоростей масс:

Интегрирование уравнений движения масс:

Результаты расчетов Определение перемещений масс:

Статическое нагружение:

Динамическое нагружение:

Эпюры нормальных напряжений в фиксированные моменты времени:

Найденное значение динамического коэффициента (К_d = 1,927) показывает, что максимальное нормальное напряжение в стержне при его динамическом нагружении практически вдвое больше максимального напряжения при статическом нагружении.