Энергетические процессы в линейных цепях переменного тока

Мгновенная мощность. Как известно, мгновенная мощность p (i) определяется произведением напряжения на ток:

Пусть ток меняется по закону i (f) = I_m sin cot = I_m cos {^cot +.

Тогда напряжение на резисторе при протекании этого тока равно u_R(t) = I_mRsincot, напряжение на катушке индуктивности равно.

u_L(t) = I_mcoLcoscot = I_mX_Lcoscot, напряжение на конденсаторе равно u_c(f) = -/" —coscot = I_mX_ccoscot. соС

Мгновенная мощность/^/), в случае резистора характеризующая необратимые преобразования электрической энергии в другие виды энергии или работу, равна.

I²_mR.

т.е. содержит постоянную составляющую р = «и компоненту, меняющуюся с удвоенной частотой. Эта мощность в любой момент времени неотрицательна (рис. 1.5.1).

Рис. 1.5.1.

Рис. 1.5.2.

Среднее за период значение мощности — так называемая активная мощность — равна.

Мгновенная мощность /?(/) в случае катушки индуктивности равна.

а в случае конденсатора

Мгновенные мощности p,(t) и р_с(1) противофазны, меняются с удвоенной частотой, а их средние значения равны нулю (рис. 1.5.2). Мощности Pi/t) и p_c(t) характеризуют периодическое запасание энергии в реактивных элементах и возврат этой энергии обратно в цепь. Активная мощность, характеризующая необратимое преобразование электрической энергии в механическую, тепловую, световую или иные формы, имеет важное практическое значение. Чтобы записать ее в более простом виде, соответствующем записи мощности в цепях постоянного тока Р = I₀²R вводят действующее значение переменного тока I = —≠ . Действующее значение переменного тока V2.

равно такому значению постоянного тока, которое выделяет в данном резисторе R за период такое же количество тепла, что и переменный ток. Из определения действующего значения тока имеем.

Отсюда.

При /' = I_mcos (ol получаем I = Аналогично JJ =Uy[2, Е = E-J2.

т гп *.

Можно провести сопоставление токов и по механическому действию.

При использовании действующего значения тока формулы для мощностей p_c(t), p,(t) и p_c(t) упрощаются — в них исчезает 2:

p_R(t) = P-Pcos2cot, Р = I²R — активная мощность. p,.(t) = Q_Lsin2cot, Q,=I²x_l)

реактивная мощность.

p_c(, t) = Q_csm2o>t, Q_c=I²x_cJ.

Реактивные мощности Q, и Q_c характеризуют максимальные значения мощностей, связанных соответственно с реактивными элементами La С.

Расходы энергии за целое число периодов можно представить как произведение активной мощности на время:

А = Pt = PRt = U_RIt.

Мощности p_R(t), p,(t) и p_c(t) аналогично записываются через напряжениеи проводимости. Векторные диаграммы могут быть построены и для действующих значений токов и напряжений. Для этого все амплитуды надо уменьшить в л раза. Фазовые соотношения при этом не меняются.

Если ток и напряжение сдвинуты между собой по фазе на величину cp_z =<�р_и-ср_1У т. е. i = I_mcos (o)t +

I), и u=t/_mco5(ty^ + ^_l/), то мгновенная мощность меняется по закону.

Величина /²Z = JU = S называется полной мощностью. При Z> R{Z~ R только при (р_г = 0, т. е. в цепи, сопротивление которой чисто активно), мощность p (t) колеблется около среднего значения Т²/?, периодически меняет знак и становится отрицательной, что связано с наличием ненулевого реактивного сопротивления цепи (рис. 1.5.3).

Рис. 1.5.3.

Раскрывая cos (2a> + <�р_г + 2<�р,), получаем.

Отсюда видно, что переменная составляющая мощности связана с изменением как активной, так и реактивной составляющих мощности. Активная мощность Р равна [(см. формулу (1.5.7)].

Величина cos ((р_и— <�р,) = cosq>_z называется коэффициентом мощности и имеет важное практическое значение, если рассматривать передачу и потребление электрической энергии в масштабах страны. Чтобы обеспечить заданную мощность в точке потребления энергии при заданном напряжении U, надо иметь определенное значение тока:

Чем меньше коэффициент мощности cosip, тем больший ток должен протекать по линии передачи и соответственно тем большая мощность потерь Р_п = I²R_n будет иметь место в линии передачи, сопротивление которой равно Л_п. Поэтому всегда стремятся увеличить коэффициент мощности.

Комплексная мощность. Запишем выражение мощности (1.3.9), используя комплексные амплитуды тока и напряжения. Подберем комплексное выражение, позволяющее описать и активную мощность Р и реактивную Q.

Рассмотрим произведение.

Действительная часть этого выражения пропорциональна.

cos ((Pi, + <�Р/), что не соответствует формуле (1.5.9).

Рассмотрим произведение.

где /_т — величина, комплексно-сопряженная амплитуде тока 1_т.

Действительная часть этого выражения позволяет нам описать активную мощность с помощью Р, а мнимая часть — реактивную мощность с помощью Q в цепи переменного тока. Сумма Р + jQ называется комплексной мощностью и обозначается буквой S:

где U ~Ue^{, 9v} и 1 = 1е^{, 9}‘ — комплексные амплитуды напряжения и тока, деленные на ^2 для упрощения записи мощности. Эти величины называются комплексными действующими значениями.

Учитывая определение сопротивления, имеем:

затем получаем где.

Учитывая определение проводимости / = UY = U (G + у’В), получаем.

где P = [/²G, Q = -U²B.

Модуль комплексной мощности S является полной мощностью:

Действительная часть комплексной мощности характеризует среднее значение мгновенной, меняющейся во времени мощности p (t) в цепи, равное активной мощности Р, а также амплитуде Р переменной составляющей мощности, рассеивающейся на активном сопротивлении R. Реактивная часть комплексной мощности характеризует амплитуду переменной составляющей мощности, связанной с реактивными элементами цепи [(см. формулу (1.5.9)].

Полная мощность S = PZ=UI характеризует амплитуду переменной составляющей мощности, связанной и с активными и с реактивными элементами цепи [(см. формулу (1.5.8)]. Еще раз подчеркнем, что, поскольку S = Jp² + Q² при Q = 1²Х* 0, т. е. при наличии ненулевого реактивного сопротивления цепи, мгновенная мощность часть периода отрицательна. Активная мощность измеряется в ваттах (Вт) и киловаттах (кВт), реактивная — в ВАР и кВАР, а полная — в ВА и кВА.

Как и все комплексные величины, комплексные сопротивления Z, комплексные проводимости Y и комплексные мощности S можно изобразить на плоскости комплексных чисел, откладывая действительные величины R, G или Р по горизонтальной оси, а мнимые X, В или Q по вертикальной. Таким образом, получаем треугольники сопротивлений, проводимостей и мощностей. Модули и фазы Z, Y и S могут быть определены по формулам треугольников (рис. 1.5.4).

Рис. 1.5.4.

Остановимся подробнее на описании электрических процессов в источниках ЭДС.

Если ток через источник ЭДС течет в соответствии с направлением сторонней силы и против направления напряжения на зажимах источника (напомним, что направление напряжения на зажимах источника выбирается отточки более высокого потенциала к точке более низкого), то р = ui отрицательно и источник ЭДС является источником электрической энергии, которая передается в электрическую цепь.

Если ток через источник ЭДС течет против направления сторонней силы и по направлению напряжения на зажимах источника, то р = ui — положительно и источник ЭДС является потребителем электрической энергии, как и активное сопротивление.

Такие явления имеют место в электрических двигателях, когда под действием внешней ЭДС, описываемой напряжением сети через двигатель протекает ток, а потребление энергии в двигателе описывается произведением тока на ЭДС, возникающей в якоре двигателя. Если же электрическая машина работает в качестве генератора энергии, то направление тока совпадает с направлением напряжения сети и сеть является потребителем энергии, а направление тока и напряжения на зажимах генератора противоположны.