Синтез оптимальной структуры

До сих пор нами в основном рассматривались задачи либо оптимизации параметров БТМС, либо дискретного выбора оптимальной системы из множества заданных БТМС. При этом внутренняя структура всех анализируемых систем была известна. Вместе с тем очень часто, особенно на этапе теоретического проектирования, возникает задача определения самой функциональной структуры БТМС (нахождение оптимальных принципов построения системы, вида преобразований сигналов, характера их взаимодействия в различных узлах и т. д.), т. е. задача синтеза оптимальной системы. Пример такого подхода был рассмотрен в [36] при определении оптимального оператора d₀(x), минимизирующего функционал (1.7) или (1.8). Если предположить, что множество S возможных структур БТМС является дискретным, то в качестве условия оптимальности БТМС может быть принят минимум функционала:

зоо В результате минимизации (10.103), как уже отмечалось, можно получить оптимальный оператор d₀(x) = х, определяющий структуру оптимальной БТМС. Подобный подход является традиционным в классической теории статистических решений [104, 113], и широко используется в радиотехнике и связи. При этом на d₀(x), как правило, не накладывается никаких ограничений, кроме самых общих условий физической осуществимости [277]. Однако, во-первых, практическая реализация оператора d₀(x) оказывается неоднозначной, так как в общем случае одному и тому же d₀(x) может соответствовать целое множество алгоритмов или функциональных структур (ФС), реализующих этот алгоритм. Во-вторых, при таком подходе, как уже отмечалось, не учитывается сложность получаемого алгоритма и ФС, которая является особенно важной для БТМС. И наконец, в-третьих, при этом не принимается во внимание неопределенность, связанная с практической реализуемостью полученного алгоритма в заданных условиях. Последнее обстоятельство имеет особенно большое значение при синтезе БТМС, работающих в условиях меняющейся обстановки, либо в случае отсутствия у разработчика достаточно полной априорной информации об условиях работы системы.

Учитывая вышеизложенное, представляется целесообразным для придания процессу синтеза однозначности, а также учета сложности ФС и неопределенности, возникающей при их реализации, ввести обобщенную функцию потерь у[х, х, 5], учитывающую дополнительно к П (х, х) потери, характеризуемые функцией ДЯ) и связанные с неопределенностью реализации ФС, и ср (5) — потери, связанные сосложностью ФС.

Если каким-либо образом определить вид функции ДЯ) и ф (5), то задача синтеза оптимальной БТМС сведется к нахождению обобщенного оператора, минимизирующего функционал.

где p (S / х) — условное распределение ФС. Причем потери, связанные с функцией ДЯ) можно отнести к ограничениям, накладываемым на синтезируемую ФС. Для того чтобы решить поставленную задачу, необходимо найти вид функций (р (5) иДЯ), определяющих потери, связанные со сложностью и неопределенностью реализации ФС.

Что касается функции ф (5), то ее определение уже было подробно рассмотрено выше. В частности, в § 10.4 было показано, что для оценки сложности функциональной структуры может быть использована линейная функция (1.15) от числа ц,. Однако так как та или иная ФС будет зависеть от оценки х, которая в силу действия различного рода помех будет случайна, то окажется случайной и функция ц (5), характеризующая сложность данной структуры. Поэтому для оценки сложности ФС в общем случае целесообразно взять усредненное значение р (5):

где к — коэффициент пропорциональности (весовой коэффициент).

Как показано в [36], для равновероятных ФС формула/(//) имеет вид.

где к_г — коэффициент пропорциональности (весовой коэффициент).

Рассмотрим теперь задачу синтеза оптимальной системы по минимуму обобщенных потерь (10.104). При нахождении оптимальной структуры s_k 6 S в данном случае необходимо учесть не только функциональную сложность цС%), но и ее информационные свойства [35, 36], в частности качество оценки 3с = d (x), получаемой с помощью этой ФС. Естественно предположить, что при этом из множества 5 с заданной сложностью р (5) выделится ФС, единственным образом удовлетворяющая заданным условиям эффективности и функциональной экономичности.

Для нахождения оптимального распределения в этом случае составим вспомогательный функционал.

а, р, р (х) — неопределенные множители.

Оптимальное распределение p₀(S/x) для ФС найдется из условия.

которое достигается на экстремалях, определяемых уравнением.

Решение этой задачи [36] дает следующее оптимальное распределение ФС:

где Z_v представляет собой статистическую сумму: Обозначим.

Критерий обобщенных потерь при этом согласно (10.104) и условию нормировки ]?) p (S) = 1 будет тождественно совпадать с критерием среднего.

s.

риска:

зоз что и следовало ожидать. Таким образом, введенный в данном параграфе критерий Г является обобщением критерия среднего риска, когда дополнительно к функции потерь П (х, х) учитывают функциональную сложность структуры, реализующей оценку х = d (x).

Если допустить, что S состоит из N ФС одинаковой сложности р (5), то оптимальное распределение будет равномерным:

Зная p (S / х), оптимальную структуру можно найти с помощью какоголибо решающего правила (в зависимости от вида распределения). В частности, можно принять.

где S_max соответствует максимальному значению p₀(S / х), либо.

где S определится из условия.

Средняя функциональная сложность ФС в этом случае будет равна:

Нахождение вида функции А (х, S) является в общем случае сложной задачей, зависящей от различных факторов. Одна из основных трудностей — выбор и обоснование вида функции у (х, х, S). Как уже отмечалось, в случае, определяемом формулой (10.115), распределение p (S / х) с точностью до постоянной вырождается в распределение (10.114). В частности, если положить.

то вследствие независимости р (5) и потерь от оценки х для p (S/x) получаем распределение вида (10.116). С другой стороны, как указывалось в § 10.5, потери (частным случаем которых является П (х, х) = (х — х)²), приводящие к СКО (1.8), и функциональная сложность р (5) будут определенным образом связаны друг с другом. Точный количественный характер этой зависимости установить в общем случае достаточно трудно. Поэтому выбор того или иного вида обобщенной функции потерь является в известной мере субъективным, зависящим от конкретной ситуации.