Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа

Примеры трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа

В математических моделях физико-химических и химико-технологических процессов могут встречаться не только одномерные и двумерные дифференциальные уравнения, но и трёхмерные. В качестве примера рассмотрим уравнение теплопроводности для нестационарного трёхмерного температурного поля:

где Т — температура; х, у, г — пространственные координаты; С_т, р, X — теплоёмкость, плотность и теплопроводность материала; q — внутренний источник (сток) теплоты.

Данное уравнение является трехмерным дифференциальным уравнением параболического типа. Его трёхмерность обусловлена тем, что температура Т — функция четырёх переменных, три из которых являются пространственными координатами:

Уравнение вихря скорости, являющееся преобразованием уравнения Навье-Стокса, — ещё один пример трёхмерного дифференциального уравнения параболического типа:

Методы численного решения трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа во многом схожи с методами численного решения двумерных дифференциальных уравнений параболического типа. Однако между ними имеются отличия, обусловленные более высокой размерностью разностной сетки, что оказывает влияние и на условие устойчивости явной разностной схемы, и на методику расщепления шага по времени при использовании метода дробных шагов, и на увеличение сложности расчётных алгоритмов. Как и в случае двумерных задач, рассмотрим сначала методы численного решения трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа, не содержащих производных по координатам первого порядка; обобщённый подход к решению трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа, которые могут содержать первые производные по координатам, представлен в конце главы.