Построение доверительных интервалов для разности средних а и отношения дисперсий двух нормальных распределений

1. Построение доверительного интервала для разности средних двух нормальных распределений с известными дисперсиями.

ПустьXj, …, х" — выборка двух независимых наблюдений из совокупности N (a_v of), ау_1; …, у_т — независимая от нее выборка из совокупности JV (a₂, а²). По результатам наблюдений требуется построить доверительный интервал для разности а_г — а₂. Случайные величины X = — ?х, и У = «ХУ;

( ah ( ст²).

имеют соответственно распределения N а, — | и N а₂, —. Поэтому случайная величинах-У распределена по закону.

( ^al ^а2).

N a_t — ^а2> 7 Г ⁺ т 1' ³ величина.

подчиняется закону N (0, 1). Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям при построении доверительного интервала для математического ожидания нормального закона с известной дисперсией.

2. Построение доверительного интервала для разности средних двух распределений с неизвестными, но равными дисперсиями.

В условиях предыдущей задачи будем считать, что о² = = а₂ = а, но точное значение, а неизвестно. По результатам наблюдений необходимо построить доверительный интервал для разности а_х — а₂. Рассмотрим случайную величину/, полагая в (1.36) a² = a² = ст:

Поскольку о неизвестно, то использовать (1.37) для построения доверительного интервала нельзя. Заменим параметр а² его оценкой. По первой выборке о² можно оценить с помощью статистики.

по второй — с помощью статистики.

Оценка будет более точной, если воспользоваться результатом двух выборок S² = ЬД² + b₂S².

Так как S² — несмещенная оценка для а², то MS² = = M (bjS² + b₂S²) = bjCT² + Ь₂ст² = a²(bj + b₂), т. е. bj + b₂ = 1. В классе несмещенных оценок вида (1.37) найдем оценку с минимальной дисперсией DS².

2(Т^ 2(7^.

Так как DS,² =-и DS, = —, и DS² = b. DS,² + b₂DS₂,

¹ п-1 ^ m — 1 ^{11 J А}

то.

Найдем значение Ь_г, при котором g’Cbj) = 0:

/ 2 2).

Так как г" (Ь.) = 2ст⁴-- н—> 0, то Ь, является точ;

(п — 1 m — 1J

кой локального минимума g (x). Следовательно, в качестве оценки для а² можно взять случайную величину.

2cj^.

при этом MS² = a², DS² =;

т + п -2

" т + п-2 ₂ п-1 ₂ т-1 ₂

Случайная величина —-S = —— Sj + —— S₂,.

ст, а ст равная сумме случайных величин, имеющих распределение у², также имеет распределение у² с (т + п — 2) степенями свободы. Поэтому случайная величина.

имеет распределение Стьюдента с т + п - 2 степенями свободы. Дальнейшие рассуждения, аналогичные приведенным, при построении доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией позволяют получить доверительный интервал.

(a) a.

где t — j — — x 100% точка распределения Стьюдента с.

т + п — 2 степенями свободы.

3. Построение доверительного интервала для отношения дисперсий двух нормальных распределений с известными средними.

Пусть х_и …, х" иу_1; …, у_п — повторные выборки из совокупностей N (a_lt Oj), N (a₂, а₂). Построим доверительный ин;

_2.

2 2.

тервал для отношения ~. Оценками для aj и а₂ служат °2.

Случайная величина.

имеет распределение Фишера с (п, т) степенями свободы. По таблицам находим значения С, (а) и С₂(а), для которых.

т.е. Р jcj (a) < < С₂(а)| = 1-а.

Отсюда получаем искомый доверительный интервал.

4. Построение доверительного интервала для отношения дисперсий двух нормальных распределений с неизвестными средними.

В этом случае оценками неизвестных дисперсий служат.

_С2 2.

Случайная величина ——— имеет распределение Фишера.

^S2 ^al.

с (п — 1, т — 1) степенями свободы и называется критерием Фишера (F-критерием).

Дальнейшие рассуждения аналогичны приведенным в предыдущем случае.

Следует отметить, что при анализе результатов эксперимента требуется не только уточнить вопрос о воспроизводимости эксперимента, оценивая однородность изменчивости, в частности, дисперсии в различных опытах в ходе их проведения, но и оценить различие значений дисперсий для одной и той же случайной величины.

При гауссовском законе распределения случайной величины для проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий одной и той же случайной величины в качестве критерия значимости используется F-критерий, который равен отношению двух рассматриваемых выборочных дисперсий S] и S₂, имеющих соответственно числа степеней свободы /, и /₂ (число степеней свободы — это разность между числом экспериментов и числом значений независимых случайных величин, полученных в результате этих экспериментов, которые не позволяют оцениваемой величине принимать какое-либо другое значение, отличное от полученного по окончании их проведения), т. е.

При расчете F-критерия по (1.38) должно выполняться условие S² > S². В противном случае следует поменять местами рассматриваемые дисперсии.

Найденное экспериментальное значение F-критерия сравнивается с его критическим значением F_Kp, соответствующим максимальному значению отношения двух дисперсий, при котором еще можно считать гипотезу о равенстве рассматриваемых дисперсий справедливой.

Критическое значение F_Kp по числу степеней свободы и заданному коэффициенту риска находится из таблицы приложения, приведенной в работе [25]. Значение числа степеней свободы/j дисперсии, стоящей в числителе выражения, определяет значение F_Kp по столбцу, а значение /₂ — по строке. Если F < F_Kp, то гипотеза о равенстве выборочных дисперсий принимается.

Для проверки гипотезы о равенстве двух выборочных средних значений случайной величины, имеющей гауссовский закон распределения, используется критерий Стьюдента. В этом случае подсчитывают выборочные средние арифметические значения сл. в. 3cj и х₂ соответственно для выборок и, и п₂ и их выборочные стандартные отклонения.