Методы сравнения двух выборок

Метод серий

Проверяют гипотезу об однородности двух выборок, т. е. гипотезу о том, что обе данные выборки извлечены из одной и той же совокупности. Подобная гипотеза возникает, например, при сопоставлении одной и той же продукции, изготовляемой на двух разных агрегатах.

Выборку Xj, х₂, х,_п объединяют с выборкой у₁, у₂, …, у_П2, и все члены объединенной выборки располагают в неубывающем порядке. Получается ряд значений, состоящий из М = = п_г + п₂ членов:

Если все значения выборки х_1; …, x_(li меньше, чем наименьшее значение второй выборки у" то образуются две серии раздельно расположенных выборок, а подобное расположение свидетельствует об их разнородности. При однородности выборок значения и_р принадлежащие выборке х" будут сравнительно равномерно чередоваться со значениями и" принадлежащими выборке у" образуя ряд серий. Чем больше число т серий, тем однороднее выборки. Вероятность получения т серий, если т = 2К, т. е. т четное число [3].

При т = 2К + 1 (нечетное число).

где С* — биномиальные коэффициенты.

Часто п₁ = п₂ = п и формулы (1.74), (1.75) примут вид соответственно для т = 2К и т = 2К + 1:

Вероятность того, что число серий т окажется равным некоторому числу d₀ или менее его,.

где d₀ — число серий, обнаруженных при сравнении двух выборок; Р₀ — уровень существенности.

В случае получения вероятности, равной или меньшей Р₀, следует отвергнуть гипотезу однородности.

Пример 1.33

Проверить гипотезу о совпадении двух настроек станка на основании двух пробных выборок деталей (размеры в мм) :Х] = 10,20; х₂ = 10,10; = 10,14; х₄ = 10,18; х₅ = 10,17; у, = 10,07; у₂ = 10,15;

Уз = 10,06; у₄ = 10,16; у₅ = 10,05.

Таким образом, n, = п₂ = 5; принято Р₀ = 0,1.

Расположим все десять значений в возрастающем порядке, подчеркнув снизу значения, принадлежащие второй выборке.

Всего получено четыре серии, каждая из которых обведена фигурной скобкой. Вычислим вероятность того, что т < 4. По формулам (1.76) и (1.77) находим:

По формуле (1.78).

и гипотезу однородности можно принять, считая, что выборки извлечены из одной и той же совокупности, учитывая относительность самого вывода о принятии гипотезы. Если щ > 10 и п₂ > 10, то можно воспользоваться законом нормального распределения, и в этих случаях вместо формулы (1.78):

где.