Оценка значимости статистических характеристик корреляции

Оценка выборочного коэффициента корреляции г_к. Уточненная оценка может быть получена, если известно, что выборка взята из общей нормальной совокупности. Удобным для больших и малых объемов выборки является критерий z:

при этом.

где г₀ — значение коэффициента корреляции в общей совокупности.

Кроме того,.

Среднее значение z находят приближенно по формуле (1.107); его значения приведены в табл. 1.25. Вместо обычно неизвестного г₀ берется величина выборочного коэффициента корреляции г_к.

Зная z и подсчитав ст. по формуле (1.108), находим доверительные пределы (внутри которых с заданной вероятностью Р заключается значение коэффициента корреляции г₀), пользуясь функцией Ф (0 нормального закона (приложения 1, 2).

Пример 1.47

По выборке из нормальной общей совокупности объема п = 15 экз. найден коэффициент корреляции г_к = 0,8256. Требуется отыскать доверительные пределы для значения коэффициента корреляции г₀ при 5%-ном уровне значимости, т. е. при вероятности Р = Фj (f) = 2Ф (0 — 0,95.

Для г_к = 0,83 по табл. 1.26 X₀(z) = 1,1881. Согласно формуле (1.108).

Поскольку ФДг) = 0,95, то Ф (Г) = 0,475 и по приложению 2 находим f = 1,96. Так как.

то, подставляя численные значения, находим Преобразуя, имеем

Таблица 1.26. Значения величин z

следовательно, с вероятностью Р = 0,95 можно утверждать, что коэффициент корреляции г₀ в общей совокупности будет находиться (приближенно) в пределах.

Пределы для г₀ находятся по значениям z неравенства из табл. 1.26; так, для 0,6217 берется г₀ = 0,55, как для ближайшего z = 0,6184.

Можно с помощью критерия z решить вопрос, существенно ли различаются выборочные коэффициенты корреляции г' и г" двух эмпирических совокупностей. Находят величины z' и z", разность, а также среднее квадратическое отклонение этой разности (S₂_₂~), применив теорему о сложении дисперсий:

Если предположить, что обе выборочные совокупности являются случайными и независимыми выборками из двух общих (нормальных) совокупностей, то.

z' - z" .

где t =-, а Ф,(1) есть функция 2Ф (1).

®z'-z"

При вероятности 1 — Ф,(г) = Р, большей, чем принятый уровень значимости (например, большей, чем 0,05), следует полагать различие между г_к и г'_к' случайным.

При выборках из нормальной совокупности можно оценить (с той или иной вероятностью) реальность выборочного г_к по критическим значениям г. Гипотеза Н₀, заключающаяся в том, что г₀ = 0, отвергается, если г_к > г.

Таблица 1.27. Критические значения коэффициента корреляции г при разных уровнях значимости.

Примечание. В таблице приведены только десятичные знаки.

В табл. 1.27 приведены соответствующие значения г; к = = п — 2 есть число степеней свободы.

Пример 1.48.

Оценить реальность двух выборочных коэффициентов корреляции: г_к = 0,45; п' = 12 и г_к = 0,30; п" = 82.

Найдя по табл. 1.27 критические значения коэффициента корреляции при Р = 0,05 для числа степеней свободы к' = 10 и к" = 80, соответственно получим.

Следовательно, гипотеза Н₀ о том, что истинное значение г₀ = 0, может быть принята как раз для совокупности, из которой взята первая выборка (г*). Несмотря на меньшую величину второго выборочного коэффициента корреляции (г_к) по сравнению с первым, его нельзя считать случайно отклонившимся от нуля.

Приведенные ниже способы оценки значимости коэффициента корреляции г_к в тех случаях, когда выборка взята не из нормальной совокупности, менее надежны.

При большом числе наблюдений (п > 50) применяют (с некоторыми оговорками) оценку значимости коэффициента корреляции по среднему квадратическому отклонению.

С достаточной надежностью и точностью Зст_г. можно написать.

Пример 1.49.

Оценить приближение г_к ~ г₀ для примера 1.45: г_к = 0,431 и п = 340.

Таким образом, можно считать, что для наших наблюдений г₀ = 0,431 и предельное отклонение этого приближения численно равно ±3a_rj = ±0,132.

Для малых п можно воспользоваться тем, что при г₀ = О Если.

то считают связь реальной и г_к значащим, что справедливо для многих случаев технологической практики. Однако не следует применять неравенство (1.109) для п < 12—15.

Пример 1.50.

Рассматривается статистическая связь между припуском под предварительную бесцентровую шлифовку партии 30 цилиндрических осей диаметром 6,65 мм и величинами биения по диаметру после предварительного шлифования. Выборочный коэффициент корреляции г = - 0,48. Оценить реальность связи.

По формулам (1.108) и (1.109) находим.

т.е. так как 2,6 < 3, связь нельзя считать реальной.

При большом числе (п) наблюденных значений оценка р_у или р_х может производиться так же, как и оценка коэффициента корреляции г₀, но ст_р находят по формуле.