Использование критериев согласия

В качестве уровня существенности принимают вероятность ошибки первого рода, обычно равную 0,05.

Критерий у

Функция '^-распределения позволяет определить вероятность Р (-/²) и тем самым оценить случайность расхождения между частотами п, и п[ по всем т группам (разрядам).

Наблюденное значение у² подсчитывают по формуле.

где п"  — теоретические частоты; п, — опытные частоты.

По приложению 4 находят у² при определенной вероятности.

Число к степеней свободы равно.

где/— число параметров закона распределения.

Если вычисленное у² больше у^, то гипотеза отвергается, т. е. разницу в частотах п" и п, нельзя считать случайной. При этом ошибочное отбрасывание верной гипотезы (появление ошибки первого рода) возможно лишь в 5% случаев, если по таблице выбрана вероятность Р = 0,05.

Применение критерия согласия у² обусловливается не только достаточным объемом всей выборки, но и величиной отдельных частот. Рекомендуется малые значения в крайних разрядах объединять в один разряд с п > 5.

Опыт использования критерия у² показывает, что иногда практически несущественные отклонения экспериментального распределения от теоретического, связанные с нетипичными причинами и регулировками процесса, приводят к большим значениям у².

Пример 1.40

Проверить гипотезу о нормальности распределения, из которого взята опытная совокупность табл. 1.11.

Графы 1, 2 и 3 табл. 1.15 перенесены из табл. 1.11. Остальные графы заполнены вычислениями по формуле (1.89), сумма чисел графы 7 дает у².

Таблица 1.15. Вычисление у² для совокупности табл. 1.12.

Число степеней свободы fc = 7- 2- l=4, так как всего 7 разрядов и два параметра (Х₀ и а для закона Гаусса).

Отметим, что в первом разряде объединены частоты п" двух крайних разрядов (1 + 9) табл. 1.11. Для к = 4 и Р = 0,05 находим в приложении 4 значение yj; = 9,49, т. е. больше вычисленного значения у² = 5,88. Следовательно, нет оснований отвергать гипотезу на основе опытных данных.

Пример 1.41

Оценить по критерию Р (у²) гипотезу о принадлежности опытных распределений, приведенных в табл. 1.12 и 1.14 (из примеров 1.36 и 1.38), к законам распределения.

Результаты подсчетов, приведенные в табл. 1.16,1.17, показывают, что наблюденные значения не противоречат гипотезе об отнесении опытных совокупностей к предположенным в примерах 1.36 и 1.38 законам распределения, так как вероятность Р (х²) везде более чем 0.

Таблица 1.16. Вычисление у² для совокупности табл. 1.12.

Число степеней свободы к = 13−1-1 = 11.

Таблица 1.17. Вычисление х² для совокупности табл. 1.14.

Число степеней свободы Аг = 6- 2−1 = 3.

Этот критерий связан с большой вычисли- -;;

тельной работой, так как объем N выборки Критерии Р (Х) ^v I ^г Колмогорова х_1; х_п должен быть велик и при этом недо- ___.

пустимо объединение в разряды [2]. Пусть гипотетическая функция распределения непрерывной случайной величины X есть F (x). Определим функцию.

и величины.

Тогда по табл. 1.18 можно найти вероятность Р (А.) того, что максимальное расхождение между статистическим рядом и предполагаемой функцией Р (х) распределения будет не меньше, чем наблюденное D_max в предположении, что случайная величина X действительно распределена по закону Р (х).

Таблица 1.18. Значения Р{Х)

При использовании критерия Колмогорова, если наблюденные данные сведены в разряды, следует иметь в виду возможность ошибочного заключения.

Кроме того, этот критерий предполагает известным как вид функции F (x), так и ее параметры, что обычно не имеет места на практике. _.

Оценка согласия по среднему квадратическому отклонению частот Оценка наряду с простотой вычислений обладает наглядностью, но является приближенной; способ пригоден для опытных час;

тот п" значительных по величине. Вычисляется для каждого разряда 2^. Если теоретическая (выравнивающая) кривая проходит внутри отрезков ± 2л/п~, отложенных от точек соответствующих опытных частот, то с вероятностью.

Р ~ 0,95 (для каждого случая сравниваемых частот) согласование принимается удовлетворительным [1].

Пример 1.42

Оценить правдоподобность предположения о том, что ряд опытных частот, представленных в графе 3 табл. 1.19, может быть отнесен к выборке из общей нормальной совокупности.

Результат вычислений приведен в графе 5, а график выравнивающей кривой, изображающей плотность распределения, — на рис. 1.18.

Таблица 1.19. Частоты распределения размеров деталей.

Рис. 1.18. Оценка соответствия между частотами экспериментальной

совокупности и выравнивающими (нормальное распределение) по отрезкам ±2лГг

Из графика видно, что гипотеза должна быть отвергнута, так как по крайней мере для трех значений х, точки п" выравнивающей кривой находятся вне отрезков п, ±2Уп~. Подсчитанная вероятность Р (х²)<0,01 (табл. 1.20) подтверждает заключение.

Таблица 1.20. Вычисление х² для совокупности табл. 1.19.

Число степеней свободы Лг = 12 — 2 — 1 = 9.