Нечеткие множества. 
Математическая логика

Данные в задачах нечеткого управления представлены численными подмножествами — дискретными, непрерывными — гладкими и ограниченными.

Дискретные нечеткие данные определяются предикатами, к которым применимы теоретико-множественные операции. Если в гл. 3 мы видели предикаты как подмножества высказываний, то в данном случае они всегда — численные данные.

Щх) — универсальное множество объектов, предикат R (x) определяется как множество упорядоченных пар (р_л(х)/г), где р_л(х) — характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 — в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается тем, что элементы х из U не имеют однозначного значения истинности свойства R. В связи с этим используется нечеткая характеристика р_л(х) принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором упорядоченном множестве допустимых значений М (х).

Множество М называют множеством принадлежностей. Если М= {0,1}, то подмножество А четкое.

Функция принадлежности трактуется как степень уверенности эксперта в том, что данное конкретное значение базовой шкалы соответствует определяемому нечеткому множеству.

Пусть U ={х_и х₂, х₃, х₄у х₅}; М = [0; 1 ]; А — нечеткое множество, для которого [Л_л(х_{) = 0,3, 1_А(х₂) = о, 1Х_А(х₃) = 1, р_л(х₄) = 0,5, ix_A(x₅) = 0,9. Тогда А можно представить в виде А = {0,3/^, 0/х₂, 1/г₃, 0,5/х₄, 0,9/г₅}.

Зададим нечеткое множество мужчин «среднего роста». Здесь х, — рост мужчины в см. Тогда А = {р, //?,} - {0/155, 0,1/160, 0,3/165, 0,8/170, 1/175, 1/180,0,5/185, 0/190}.

1. Характеристики нечетких множеств. Пусть А — нечеткое множество с элементами из универсального множества U и множеством принадлежностей М = [0; 1].

Величина supp^Or) называется высотой нечеткого множества А. Мпо;

хеи

жество А — нормальное, если его высота равна 1, или верхняя граница функции принадлежности равна 1 (р_л(х) = 1).

При х_л(х) < 1 нечеткое множество субнормальное.

Нечеткое множество пусто, если р_л(х) = 0.

Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле.

Нечеткое множество унимодально, если х_л(х) = 1 только на одном х е U.

Носителем (суппортом) нечеткого множества А называется множество {х | х е U, р_л(х) > 0}.

Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности р_л(х). Наибольшее распространение получили треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (а, Ь_у с), и ее значение в точке х вычисляется согласно выражению.

При b — а = с — b имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (а_} by с).

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (я, 6, с, d):

При b — a-dс трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.

На рис. 6.7 показаны графики треугольной и трапецеидальной функций принадлежности.

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой.

и зависит от двух параметров: с обозначает центр нечеткого множества, параметр G отвечает за крутизну функции (рис. 6.8).

Рис. 6.7. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности:

а — треугольная; б — трапецеидальная.

Рис. 6.8. Гауссова функция принадлежности.

• 2. Сравнение нечетких множеств. Пусть А (х) и В (х) — нечеткие множества, заданные на универсальном множестве U (x).
• 1. А содержится в В (А, а В), если Ух е U х_л(х) < Ря (х).
• 2. Если р_л(х) < Рд (Х) выполняется не для всех х е U, то учитывается степень включения нечеткого множества А в В, которая определяется следующим образом:

где Т= {х е U: р_л(х) < ц_в(*), р_л(х) > 0}.

• 3. Равные множества: А = В_} если Ухе U р_л(.г) = Рд (д*).
• 4. Если значения функций принадлежности р_л(;г) и рд (х) почти равны, учитывается степень равенства нечетких множеств А и В в виде

где Т={хе U : р_л(х) Ф Рд (:г)}.