Постановка задачи оптимизации

Поиск оптимальных значений параметров является одной из важных задач, решаемых при создании новых технических систем, управлении производством или технологическими процессами. В соответствии с теорией эффективности необходимо:

• • сформировать критерий эффективности (функцию отклика);
• • выделить управляемые и неуправляемые факторы системы и среды, оказывающие существенное влияние на функцию отклика;
• • определить ограничения на значения параметров.

Задача оптимизации заключается в нахождении экстремума функции отклика в области допустимых значений параметров, для чего необходимо иметь описание поверхности отклика в интервалах варьирования параметров, что далеко не всегда удается получить, исходя из теоретических соображений, так как функция отклика в аналитическом виде может быть априори неизвестна.

Реализация задачи оптимизации, основанная на применении ТПЭ, начинается с определения объекта анализа, цели исследования, изучения сущности исследуемого процесса, анализа имеющихся ресурсов, возможности проведения экспериментов с изучаемым объектом в необходимом диапазоне изменения факторов.

Объектом анализа выступает заданная функция отклика исследуемой системы, рассматриваемая как функция от существенных параметров системы и внешней среды. Система может представлять собой реальный физический объект или его модель — физическую или математическую. Выбор существенных переменных потенциально определяет степень достижения адекватности модели: отсутствие в исходном перечне существенных параметров не позволяет правильно решить задачу оптимизации; включение несущественных параметров усложняет модель, вызывает значительное увеличение объема экспериментов, хотя по результатам исследования несущественность соответствующих параметров будет выявлена.

Фактор должен быть управляемым, т. е. экспериментатор может поддерживать его постоянное значение в течение всего опыта, и первичным, ибо сложно управлять фактором, который является функцией других факторов.

Одновременное изменение факторов предполагает их совместимость, что означает осуществимость и безопасность всех их сочетаний. Необходимо также обеспечить независимость изменения каждого фактора, т. е. возможность установления любого значения фактора вне связи со значениями других факторов.

Цель исследования, требуемая точность получаемых результатов, имеющиеся ресурсы ограничивают множество допустимых моделей функции отклика (с усложнением модели и повышением точности оценки показателей резко возрастает объем необходимых опытов) и соответственно предопределяют план проведения экспериментов.

Пример 3.7

Применение метода оптимизации при исследовании процесса переэтерификации метилметакрилата диметиламиноэтанолом [11].

При исследовании процесса переэтерификации метилметакрилата диметиламиноэтанолом необходимо было подобрать условия, обеспечивающие максимальный выход целевого продукта и высокую производительность процесса.

Для определения оптимального режима варьировались значения трех факторов: X, — количество катализатора (доза катализатора в приготовленной шихте в единицах объема); Х₂ — молярное соотношение реагентов (аминоспирт/метилметакрилат); Х₃ — время реакции (ч). В качестве выходных показателей фиксировали: у, — выход продукта от теоретического на взятый аминоспирт (%);у₂ — конверсия аминоспирта (%);у₃ — производительность процесса (весовые единицы/часы).

Наилучшие исходные условия процесса характеризовались значениями факторов Х_г = 4,0; Х₂ = 1,4; Х₃ = 3,0, при которых У, = 74,4; у₂ = 78,7; уз = 27,6.

В окрестности этой точки был спланирован эксперимент типа 2³" ¹ с 1 = -XjX₂x₃ для определения направления «крутого восхождения» — линейных коэффициентов при трех факторах (все взаимодействия предполагались незначимыми).

Условия кодирования факторов и матрица планирования с полученными результатами приведены в табл. 3.20 и 3.21.

Таблица 3.20. Результаты наблюдений [11].

Таблица 3.21. Матрица планирования [11].

По этим данным были вычислены коэффициенты регрессии и ошибки в их определении для каждого из показателей у. Для у, значения коэффициентов и их ошибок оказались равными:

Величина доверительного интервала.

Результаты аналогичных вычислений для у,, у₂ иу₃ приведены в табл. 3.22.

Таблица 3.22. Результаты вычислений.

Из полученных результатов видно, что влияние Х₂ и Х₃ незначимо по t-критерию для показателя у, а влияние Х₂ незначимо также для у₂ и у₃. Причиной этого является, по-видимому, большой уровень шума (большие значения ошибок воспроизводимости, особенно 5 {у,} и s{y₂}), который маскирует действие указанных факторов даже при таких больших шагах варьирования, какие приняты в эксперименте.

Для получения дополнительной информации о влиянии факторов решено было реализовать несколько новых опытов из реплики 2³'¹ с 1 = -х_гх₂х₃

Так как длительность каждого опыта из двух параллельных, включая время анализов и подготовку установки к следующему режиму, составляла примерно двое суток, при вычислении коэффициентов уравнений связи представлялось рациональным использовать методику текущего анализа.

Первым из дополнительной серии был реализован опыт 5 су^ = 58,2,у₂ = 69,0,Уз = 23,8. Предсказанное значениеу^ в этом опыте оказалось.

Новое значение вектора коэффициентов для у_г по всем пяти опытам.

Величина доверительного интервала для коэффициентов.

Дляу₂ и Уз векторы коэффициентов оказались равными соответственно.

cAbg = 1,201×3,45 = 4,15,.

сДЬ" ' = 1,201×0,70 = 0,84.

После включения опыта 6 су_а = 67,9, у₂ = 74,0, у₃ = 39,1 были получены новые В и ДЬ, значения которых приведены в табл. 3.20. Из этих данных видно, что для основного показателя значимы уже все коэффициенты регрессии, в частности, величина и знак коэффициента Ь₂" после шести опытов изменились по сравнению с теми, которые были получены по четырем первым (табл. 3.23). Пренебречь влиянием этого фактора нау₃ либо принять Ь₂ > 0 было бы неправильным. Таким образом, результаты опытов 5 и 6 позволили получить «истинное» представление об эффекте х₂ для у₃ и подтвердили устойчивость характера зависимостей по другим факторам для всех у.

Таблица 3.23. Результаты планирования.

Используя полученную информацию, спланировали опыты «крутого восхождения» для увеличения значенияу₃. Как видно из табл. 3.24, реализация этих опытов позволила найти режим Х_г = = 4,5, Х₂ — 1,35, Х₃ — 2,0, для которого средние значения у₃ = = 50,3, ау₂ = 84,6, у! = 88,1. Отметим, что сами наблюдаемые значения при этом колебались в широких пределах: у_} от 82 до 86, ау₂ от 85 до 91. Было высказано предположение, что причиной этого разброса являются колебания влажности используемого в экспериментах аминоспирта.

Таблица 3.24. Результаты планирования по увеличению у₃

* Новые шаги (У: 0,5, Х₂: -0,05, У₃: -0,25).

Применив аминоспирт, прошедший глубокую осушку, действительно удалось получить более воспроизводимые результаты: ошибки эксперимента для у_г и у₂ снизились почти в два раза. Кроме того, в найденных условиях значительно возросли сами значения выходных показателей: при^ = 4,5, Х₂ = 1,35, Х₃ = 2,0.

и осушке аминоспирта были получены у₁ = 92,8, У2 ⁼ 98,7, у₃ = = 54,3, которые можно считать близкими к оптимальным.

Последнее вполне объяснимо с технологической точки зрения: осушка аминоспирта фактически равносильна увеличению фактора Xj (вода дезактивирует катализатор), что способствует росту у j иу₂, а значит, и у₃. Это подтверждается также и характером уравнений связи — знаками коэффициентов регрессии, полученных после опыта 6 (см. табл. 3.20).

Таким образом, использование методики текущего анализа позволило достаточно экономно и быстро определить характер и степень влияния основных факторов процесса при весьма значительном уровне шума и найти режим, давший в конечном счете увеличение выходов на Ау₁ = 18%, Ду₂ = 20% с почти двукратным повышением производительности у₃.

После оптимизации для проверки были реализованы оставшиеся опыты 7 и 8 (строки г₇ и г₈), давшие у_} = 43,0, у₂ =56,8, Уз = 28,76 и Ут = 88,2, у₂ = 93,1, у₃ = 32,4.

Проведенные расчеты показали, что значения коэффициентов, найденные по результатам всего эксперимента из восьми опытов, мало отличаются от значений, полученных после шести опытов, т. е. ранее полученные зависимости и их параметры уже соответствовали «истинным». Поэтому принятие решения о «крутом восхождении» было правомерным.

Пример 3.8.

Решается задача об оптимизации качества шва при сварке никеля. Требуется найти состав и условия приготовления покрытия электродов для сварки никеля с целью получения возможно меньшего числа пор в сварном шве. Исследуется зависимость функции отклика у (число пор в участке сварного шва) от шести факторов, из которых один качественный. Порядок решения задачи:

• 1) выбор исходной точки (нулевого уровня);
• 2) выбор интервалов варьирования факторов;
• 3) постановка первой небольшой серии опытов (8 опытов);
• 4) определение коэффициентов регрессии и запись линейного уравнения регрессии в виде

• 5) определение направления, дающего наименьшее значение у, и начало движения по градиенту (выполнение мысленных опытов);
• 6) повторение п. 3—5 до достижения области минимума пор в сварном стыке.

Рис. 3.17. Движение по градиенту и описание почти стационарной области

Методика и результаты решения задачи приведены в табл. 3.25. В этой таблице показана реализация схемы экспериментирования, приведенной на рис. 3.17. В таблице 9 столбцов и 50 строк.

В 1-й строке содержится основной уровень — исходный состав обмазки электродов, который давал большое количество пор. Задача опытов состояла в том, чтобы свести это количество к минимуму, а лучше всего до нуля.

Во 2-й строке приведен интервал варьирования (/)• В 3-й и 4-й строках даны соответственно верхний (+1) и нижний (-1) уровни варьирования факторов при планировании экспериментов. В строках 5—12 дана ортогональная матрица планирования экспериментов и результатов опытов (столбец 9), полученные при уровнях варьирования, указанных в матрице.

В 13-й строке приведены значения коэффициентов линейной регрессионной модели, полученной при обработке результатов восьми опытов:

В 14-й и 15-й строках определены направление и шаг движения по градиенту («крутому склону»). Направление соответствует обратному знаку коэффициентов регрессии: если имеется знак «минус», как, например, при b_v то при движении по градиенту надо прибавить шаг к основному уровню. Сложнее обстоит дело при определении шага. Здесь за основу берут процедуру перемножения величины коэффициента регрессии Ь, на интервал варьирования (/), но затем производят округление, для которого требуются интуитивные представления о существе изучаемого процесса, т. е. эта операция доступна только специалисту.

В таблице подробно описано получение шага движения по градиенту для факторах,. Качественный фактор х₅ в дальнейшем не варьируется, так как лучшие результаты получаются при короткой дуге.

В строках 16—25 расписаны уровни факторов Xj для десяти мысленных опытов.

Три мысленных опыта (4, 6 и 8) выполнены в действительности в порядке, показанном римскими цифрами. Опыт 6 (строка 21) дал минимальное число пор. Этот опыт принимают за основу при установлении нового исходного основного уровня (строка 26) для постановки новой серии из 8 опытов по плану.

Числа строки 26 являются округленными числами строки 21 — шестого мысленного опыта, после осуществления которого получено минимальное количество пор.

Таблица 3.25. Методика и результаты проведения активных экспериментов.

(iокончание табл. 3.25)

Всего выполнено 23 опыта.

В строках 30—37 даются матрица планирования и результаты второй серии из восьми опытов.

Коэффициенты Ъ? новой модели представлены в строке 38. Строки 39 и 40 дают направление и шаг последнего движения по градиенту.

В строках 41—50 записаны мысленные опыты (движение по градиенту).

Опыты 2, 3, 5 и 7 выполнены в действительности в порядке, указанном римскими цифрами. Опыты 5 и 7 дали сварной шов без пор, т. е. достигнута область оптимума.

Фактор х₂ не варьируют после строки 29, так как при большем содержании этого компонента процесс не может быть осуществлен. Окончательно уравнение регрессии имеет вид.

Таким образом, всего за 23 опыта получен высококачественный сварной шов без пор.

Этот пример дает некоторое представление о возможностях активных экспериментов. Следует отметить, что процедура такого экспериментирования не носит формальный характер. Опыты могут быть поставлены только хорошим специалистом. Строки 2, 15, 26, 27 и 40 табл. 3.25 могут быть получены только при наличии хороших интуитивных представлений о механизме изучаемого явления.