Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания

Пусть случайная точка (Х, У) на плоскости подчинена нормальному закону:

(3.1).

При атом главные оси рассеивания параллельны координатным осям и величины Х и Y независимы. Требуется вычислить вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в прямоугольник R, стороны которого параллельны координатным осям хОу, а следовательно и главным осям рассеивания (рис. 3.3.1). Согласно формуле имеем:

откуда, применяя формулу для вероятности попадания на участок находим:

где Ф (x) — нормальная функция распределения.

Если нормальный закон на плоскости дан в канонической форме, то и формула (3.2) принимает вид:

(3.3).

Если стороны прямоугольника не параллельны координатным осям тоформулы (3.2) и (3.3) уже неприменимы. Только при круговом рассеивании вероятность попадания в прямоугольник любой ориентации вычисляется по формулам (3.2) или (3.3). Формулы (3.2) и (3.3) широко применяются при вычислении вероятностей попадания в цели: прямоугольные, близкие к прямоугольным, составленные из прямоугольников или приближенно заменяемые таковыми.

Пример. Производятся стрельба с самолета по прямоугольному щиту размером 9м х 12 м. лежащему на земле горизонтально. Главные вероятные отклонения: в продольном направление = 10 м. в боковом направлении =5 м. Прицеливание — по центру мишени, заход — вдоль мишени. Вследствие несовпадения дальности пристрелки и дальности Рис. 3.3.2 фактической стрельбы средняя точка попадании смещается в сторону недолета на 4 м. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле.

Решение. На чертеже (рис. 3.3.2) наносим мишень, точку прицеливания (т. п.) и центр рассеивания (ц. р.). Через ц. р. проводим главные оси рассеивания: по направлению полета е перпендикулярно к нему. Перейдем от главных вероятных отклонений и к главным средним квадратическим:

По формуле (3.3) имеем: