К вопросу о формировании универсальных учебных действий в процессе преподавания элективного курса по математике

К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ В ПРОЦЕССЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ Алфимова A.C.

В последние годы наблюдаются общемировые тенденции перехода от индустриального к информационному обществу, в связи с чем выдвигаются новые требования к системе образования. Стратегическая задача развития школьного образования заключается в обновлении его содержания, методов обучения и достижении на этой основе нового качества его результатов. Модернизация образования, происходящая в нашей стране, ориентирована, прежде всего, на развитие личности обучаемого это главная цель и смысл образования.

К числу важнейших задач модернизации школьного образования следует отнести разностороннее развитие детей, их творческих способностей, умений и навыков самообразования, формирования у молодежи готовности адаптироваться к меняющимся социальным условиям жизни общества. Решение этих задач невозможно без дифференциации содержания школьного образования, реализации профильного обучения, которое позволяет за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их планами получения профессии.

Система профильного обучения включает в себя следующие типы учебных предметов: базовые общеобразовательные, профильные и элективные курсы. Разработка их методического обеспечения, входящим в подсистему дополнительного образования детей, является сейчас актуальной задачей.

В настоящее время в нашей стране разрабатываются образовательные стандарты второго поколения, в основу которых положена деятельностная парадигма образования (Л.С. Выготский, А. Н. Леонтьев, Д. Б. Эльконин, П.Я. Гальперин). Базовым положением деятельностного подхода служит тезис о том, что развитие личности в системе образования обеспечивается, прежде всего, формированием универсальных учебных действий (УУД), которые выступают в качестве основы образовательного и воспитательного процесса. При этом знания, умения и навыки рассматриваются как производные от соответствующих видов целенаправленных действий, то есть они формируются, применяются и сохраняются в тесной связи с активными действиями самих учащихся. Качество усвоения знания определяется многообразием и характером видов универсальных действий.

Представление о функциях, содержании и видах универсальных учебных действий должно быть положено в основу построения целостного учебно-воспитательного процесса. Отбор и структурирование содержания образования, выбор методов, определение форм обучения должно учитывать цели формирования конкретных видов универсальных учебных действий. Развитие универсальных учебных действий решающим образом зависит от способа построения содержания учебных предметов.

Овладение учащимися универсальными учебными действиями происходит в контексте разных учебных предметов. Каждый учебный курс, в том числе и элективный, имеет свои возможности для формирования УУД, определяемые, в первую очередь, функцией учебного предмета и его предметным содержанием.

В составе основных видов универсальных учебных действий выделяют пять блоков: личностный, регулятивный, познавательный, знаково-символический, коммуникативный.

Методики, способствующие формированию и совершенствованию универсальных учебных действий в процессе обучения математике, еще недостаточно разработаны. Важно отметить, что элективный курс достаточно удобный с точки зрения формирования УУД вид занятий, поскольку при его разработке учитель может отобрать именно тот теоретический и задачный материал, который для этого необходим.

Знаково-символические УУД, в частности, действие моделирования, могут быть наиболее эффективно сформированы именно в процессе изучения математики. При этом разделы дискретной математики являются важнейшим источником большого числа разнообразных моделей. В качестве содержания элективного курса «Элементы дискретной математики»¹ нами были выбраны разделы «Комбинаторика» и «Основы теории графов». Остановимся подробнее на научной и практической значимости выбранного материала.

В наше время роль комбинаторики существенно изменилась. Если раньше комбинаторика часто воспринималась только как занимательная часть математической науки, то после появления ЭВМ и связанного с этим расцветом конечной математики комбинаторные методы стали значительно более востребованными, они применяются сегодня в теории случайных процессов, в вычислительной математике, в планировании экспериментов. Теория графов с практической точки зрения также один из наиболее востребованных сегодня разделов дискретной математики. Она используется при проектировании интегральных схем и систем управления, исследовании автоматов и логических цепей, при системном анализе, автоматизированном управлении производством, при разработке вычислительных и информационных сетей. Обширное применение теория графов находит также в вычислительной технике и кибернетике в теоретическом программировании, при проектировании ЭВМ и баз данных. Графы также успешно применяются для решения задач планирования выбора оптимальных маршрутов, решения некоторых проблем, имеющих место в биологии и психологии.

Отметим, что избранные разделы дискретной математики являются не только востребованными в науке и практике, но и наиболее доступными для изучения старшеклассниками. Кроме того, материал этих разделов достаточно удачен для формирования универсальных учебных действий, особенно действия моделирования.

Весь отобранный материал по комбинаторике и основам теории графов разделен на 15 тем, перечень вопросов, изучаемых в рамках каждой из которых, приведен ниже.

Тема 1. Множества, кортежи, отображения. Введение в комбинаторику. Множество. Кортеж. Отображение.

Тема 2. Основные законы комбинаторики. Правила суммы и произведения.

Тема 3. Основные комбинаторные соединения. Факториал. Размещения, сочетания, перестановки с повторениями и без повторений. Формулы для числа основных комбинаторных соединений.

Тема 4. Применение элементов комбинаторики к нахождению вероятностей. Классическое определение вероятности. Вероятностные задачи, в которых применяются элементы комбинаторики.

Тема 5. Сочетания и биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.

Тема 6. Рекуррентные соотношения. Рекуррентное соотношение. Примеры рекуррентных соотношений. Арифметическая и геометрическая прогрессии как рекуррентные соотношения. Числа Фибоначчи.

Тема 7. Основные понятия теории графов. Граф. Смежные вершины. Дополнение к графу. Мультиграф. Псевдограф. Степень вершины. Висячие и изолированные вершины. Лемма о рукопожатиях. Теоремы о вершинах графа. Изоморфные графы.

Тема 8. Полный граф и нуль-граф. Путь, цикл. Связный граф. Нуль-граф. Полный граф. Теорема о числе ребер полного графа на п вершинах. Маршрут. Путь. Связанные вершины. Связный граф. Теорема о связности графа либо его дополнения.

Тема 9. Деревья. Регулярные графы. Дерево. Каркас графа. Лес. Теорема о числе вершин и ребер дерева. Регулярный граф. Теорема о существовании к-регулярного графа на п вершинах.

Тема 10. Двудольные графы. Двудольный, полный двудольный граф. Теоремы о вершинах и ребрах двудольного графа. Теорема Кенига.

Тема 11. Ориентированные графы. Ориентированный, смешанный, полный ориентированный граф. Турнир. Полустепени захода и исхода вершины. Теорема о числе ребер орграфа. Корневое дерево. Теоремы о существовании ориентированного цикла и пути в орграфе.

Тема 12. Способы представления графов. Необходимость различных способов представления графов. Нагруженный (взвешенный) граф. Матрицы смежности и расстояний. Применение матричных способов представления графов в программировании.

Тема 13. Плоские графы. Плоский граф. Грань. Соседние грани. Формула Эйлера. Графы и как примеры графов, не являющихся плоскими. Двойственные графы. Теорема Эйлера для многогранников. Правильный граф.

Тема 14. Эйлеровы графы. Эйлеров цикл. Эйлеров граф. Эйлеров путь. Критерии эйлеровости и полуэйлеровости графа.

Тема 15. Отношения и графы. Отношение. Способы задания отношений. Унарное, бинарное и тернарное отношение. Свойства и примеры отношений. Уточнение определения графа с применением понятия «отношение».

Отметим, что раздел «Комбинаторика» не является абсолютно новым для школьников. Однако на завершающем этапе обучения нам представляется необходимым систематизировать и углубить имеющиеся знания учащихся естественно-математического профиля, которые, несомненно, будут востребованы в дальнейшем при обучении в вузах. Кроме того, комбинаторика и графы являются взаимопроникающими разделами, то есть многие комбинаторные задачи удобно решать графовыми методами, вместе с тем ряд задач теории графов предполагает наличие у учащихся основных комбинаторных знаний.

С точки зрения формирования УУД, выбранные разделы позволяют рассмотреть с учащимися основные ситуации, в которых решению задачи может предшествовать моделирование ее условия с помощью графов (полные, связные, регулярные, двудольные, ориентированные графы, деревья).

Далее остановимся на некоторых методических подходах к формированию и совершенствованию перечисленных выше видов учебных действий в процессе преподавания элективного курса «Элементы дискретной математики» учащимся классов естественно-математического профиля.

Рис. 1

Основным видом деятельности, осуществляемым на уроках математики, является решение задач. Задачи, отобранные для решения на элективном курсе «Элементы дискретной математики» могут быть, как правило, отнесены к одному из двух видов.

1. Задачи на подведение под понятие и выведение следствий.

Действие «подведение под понятие» (распознавание объектов, выделение существенных признаков и их синтез) является одним из важных логических УУД. Задания такого типа важны на этапе знакомства с новым понятием.

Среди перечисленных утверждений выберите то, которое верно для заданного графа в (рис.1): а) в мультиграф с одной изолированной вершиной и двумя вершинами степени 3; б) в псевдограф с одной висячей вершиной; в) в псевдограф, сумма степеней вершин которого равна 14; г) в мультиграф, имеющий 6 вершин и 8 ребер.

Какой из следующих графов является изоморфным графу в (рис.2)?

2. Задачи на моделирование.

Моделирование относится к знаковосимволическим УУД. Оно позволяет выделить существенное в предложенном учебном материале и преобразовать объект изучения в пространственно-графическую или знаково-символическую модель, с которой можно работать, используя общие законы данной предметной области, в данном случае дискретной математики.

3. На концерте каждую песню исполняли двое артистов, и никакая пара не выступала вместе более одного раза. Всего было 12 артистов, каждый выступал по 5 раз. Сколько было песен?

Решение. Рассмотрим граф, в котором вершины артисты; если артисты вместе пели, то вершины в графе соединены ребром. Таким образом, имеем ребер столько песен было спето.

Таким образом, здесь мы применили метод математического моделирования, знакомый школьникам из курса алгебры и состоящий из 3-х этапов: составление математической модели (перевод задачи на язык графов); работа с математической моделью (решение задачи с использованием свойств графов); ответ на вопрос задачи (перевод задачи на естественный язык и интерпретация полученного результата).

В процессе преподавания данного элективного курса для организации самостоятельной работы учащихся мы предлагаем использовать метод проектов, который позволяет расширить содержание курса и рассмотреть обзорно ряд вопросов, выходящих за рамки отобранного материала и при этом являющихся важными с точки зрения практического применения дискретной математики. Такая форма работы также способствует формированию некоторых видов УУД, в частности, регулятивных (целеполагание, планирование, волевая саморегуляция), и познавательных, к которым относятся самостоятельное формулирование познавательной цели; поиск необходимой информации, в том числе с помощью компьютерных средств; извлечение необходимой информации из научных и научно-популярных текстов; определение основной и второстепенной информации; структурирование отобранного материала; постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.

универсальное учебное действие математика

1. Алфимова A. C. Возможности применения информационных технологий в преподавании элективного курса «Основы теории графов» в профильной школе // Наука и школа. № 1.2010. С 112 114.

2. Фундаментальное ядро содержания общего образования: Проект (Стандарты второго поколения) / Под ред.В. В. Козлова, А. М. Кондакова. М., 2009.