Равновесие потребителя в общем случае

Функция полезности не является линейной. Приравняем нулю производную функции (2.147) по С_А с учетом равенств (2.146) и определения математического ожидания:

Ковариация — характеристика статистической связи двух случайных переменных, равная разности математического ожидания их произведений и произведения их математических ожиданий:

Так, рост и вес студентов группы связаны положительной связью (ковариация положительна), а число пропусков лекций и экзаменационная оценка обычно связаны отрицательной связью (ковариация отрицательна). Из определения ковариации следует основное свойство ковариации.

Пример Переменная х с равной вероятностью принимает значения 2 и 4, а переменная у — значения 6 и 8. Тогда произведения переменных в двух состояниях равны 12 и 32, их среднее — 22. Средние значения переменных равны 3 и 7, их произведение — 21, отсюда ковариация равна 22−21 = 1. Она положительна, так как большему значению одной переменной отвечает большее значение другой переменной.

Заменим математическое ожидание переменных в правой части (2.149) суммой произведения их ожидаемых значений и ковариации, используя основное свойство ковариации:

где ковариация в простейшем случае двух равновероятных состояний рассчитывается по формуле.

Из равенства (2.150) следует, что знак ковариации играет важную роль в определении условия равновесия потребителя.

Частный случай 1. Пусть коэффициент ковариации равен нулю, а средняя ставка доходности рискового актива равна норме межвременного предпочтения (г = р), тогда условие равновесия (2.150) примет вид т. е. ожидаемая предельная полезность дохода в старости равна предельной полезности дохода в молодости. Данное условие сходно с известным в микроэкономике условием равновесия потребителя в случае одномоментного потребления им двух продуктов равной цены: их предельные полезности должны быть равны между собой.

Частный случай 2. Рассматривается квадратичная функция полезности:

где для потребителя, нс склонного к риску, выполнено а > 0, а для потребителя, склонного к риску, — а < 0.

Упростим (2.150) с учетом основного свойства ковариации и получим выражение для ожидаемой доходности рискового актива:

Рассмотрим безрисковый актив с гарантированной нормой отдачи, равной неизменной ставке процента i. Поскольку его доходность неизменна, коэффициент ковариации с любым другим показателем равен нулю и равенство (2.151) принимает вид.

Вычтем (2.152) из (2.151), получим условие равновесия в виде.

Выбрав оптимальный объем сбережений в молодости, потребитель может добиться выполнения условия (2.153) и тем самым максимизировать свою дисконтированную полезность (2.145). Для случая с квадратичной функцией полезности получаем выводы из равенства (2.153):

• 1) разница между ожидаемой доходностью рискового актива и доходностью безрискового актива не зависит от нормы межвременного предпочтения и в случае равновесия должна быть пропорциональна ковариации доходности рискового актива и объема потребления в старости (бете потребления) и обратно пропорциональна ожидаемому значению предельной полезности дохода в старости;
• 2) поскольку левая часть (2.153) положительна, равновесие не склонного к риску потребителя (а > 0) возможно, если ковариация доходности и объема потребления в старости положительна. Условия для достижения равновесия благоприятны, если большему случайному значению пенсии отвечает большее случайное значение доходности рискового актива;
• 3) равновесие склонного к риску потребителя (а < 0) возможно, если ковариация доходности и объема потребления в старости отрицательна. Условия для достижения равновесия благоприятны, если большему случайному значению пенсии отвечает меньшее случайное значение доходности рискового актива.

Пример Выясним, является ли выбранный потребителем объем сбережений равновесным. Он не склонен к риску, параметр квадратичной функции полезности (а) положителен и равен 0,01. Состояния равновероятны (/;, = р₂ = 0,5), возможные нормы доходности рискового актива — 12% и 18%, возможные размеры пенсии — 80 и 89. Ставка процента — 10%. Сбережения в молодости равны 8, тогда объем потребления в старости для первого состояния равен С_вх = 80 + 1,12 *8 = 88,96, для второго — С_В2 = = 89 + 1,18−8 = 98,44. Предельная полезность в первом состоянии равна и'(С_вх) = 1 — -0,01 • 88,96 = 0,1104, во втором — 0,0156.

Рассчитаем ожидаемую норму доходности рискового актива, значение ковариации и ожидаемое значение предельной полезности (табл. 2.1).

Потребление и рисковые активы.

Таблица 2.1

Проверим выполнение условия равновесия (2.153), используя данные таблицы. Его левая часть равна 0,15 — 0,13 = 0,02, а правая часть равна 0,01 • 0,1422 / 0,063 = = 0,0226. Правая часть больше левой части, поэтому сбережения превышают равновесный уровень. При сокращении сбережений уменьшатся значения С_вх, С_В2, ковариация и числитель дроби, а предельные полезности и знаменатель увеличатся. В итоге дробь уменьшится, и при некотором значении сбережений обе части равенства (2.153) сравняются и потребитель достигнет равновесия.