Метод построения булевых моделей сложных физико-химических систем

При большом числе факторов, оказывающих влияние на технологический процесс, и значительных массивах экспериментально-статистической информации, подлежащей обработке, непосредственное использование методов факторного анализа приводит к весьма трудоемким вычислительным процедурам. В этих случаях для оперативного обследования объекта в режиме нормальной эксплуатации и выработки предварительного заключения о наиболее значимых факторах, оказывающих влияние на ход процесса, эффективное применение находят методы алгебры логики 1271. Исследование проводится в два этапа. На первом этапе рабочие диапазоны изменения переменных квантуются па отдельпые уровни и методом минимизации булевых функций строится булева модель ФХС. На втором — решается задача интерпретации булевых моделей в терминах существующих содержательных теорий.

Рассмотрим некоторые понятия алгебры логики, необходимые для дальнейшего изложения метода.

Булевы функции. Функция у=<�р (xj, я₂,.. ., х_я) называется булевой, если как сама функция у, так и каждая из ее независимых переменных (i=l, 2,.. ., п) принимает два значения О и 1. Областью определения булевой функции служит множество всевозможных n-мерных наборов из 0 и 1, а областью значений — множество из двух элементов: 0 и 1. Булева функция обычно задается либо в аналитической, либо в табличной форме (см. табл. 2.3).

Таблица 2.3.

Табличное задание булевой функции.

Таблица 2.4.

Элементарные функции одной переменной.

Булевы функции одной и двух переменных называют элементарными. Определения, свойства и названия элементарных булевых функций даны в табл. 2.4 и 2.5 [28].

Алгебра высказываний. Основой для построения моделей, описывающих дискретные системы, служит алгебра высказываний или булева алгебра. Если в качестве исходного набора элементарных функций принять у= О, у=ж, У=х₁/х₂₁ у=х_х/х2, у=х₁ -* х₂у у=х₁~х₂, то алгебру высказываний образуют следующие тождества:

Эта система тождеств позволяет выполнять преобразования булевых функций, заданных в аналитической или табличной форме.

Дизъюнктивная нормальная форма (д. н. ф.). Булева функция, заданная в табличном виде, может быть единственным образом представлена аналитически в так называемой совершенной дизъюнктивной нормальной форме. Последняя представляет совокупность конъюнкций х_г Д х_г А. .. Д х_п% соединенных зна;

нами дизъюнкции. Каждая конъюнкция соответствует той строке таблицы, против которой у=1, причем нулевые значения x_i в конъюнкциях выделяются знаком отрицания Х_{. Если в аналитической записи булевой функции не требовать, чтобы каждая конъюнкция содержала все переменные х_1% х₂₁ • •. , х_п> то термин «совершенная» опускается и говорят просто о дизъюнктивной нормальной форме (д. н. ф.), которая имеет вид N=U₁ V U₂J …

... V U_k. Здесь i/j, U2,. .. , U_k — элементарные конъюнкции, каждая из которых определяется соотношением.

где о, 6 {0. 1}" x)=x_iy все x_tJ (/=1, 2,. .. , г) различны;

число г называется рангом конъюнкции.

Элементарная конъюнкция U = … хдля которой вы полнено соотношение.

называется импликантом функции (х_1э х₂, .. ?"). Любая элементарная конъюнкция дизъюнктивной нормальной формы функции у (x_lt х₂,.. ., xj является ее импликантом. Это следует из того, что если в д. н. ф. какая-либо элементарная конъюнкция на некотором наборе х_{ обращается в 1, то и функция <�р (x_lt х₂, .. ., х_п) также обращается в 1.

Одна из важных проблем булева апализа состоит в отыскании представления булевой функции наименьшей сложности. Таковой считается д. н. ф., содержащая наименьшее число букв по сравнению с другими д. н. ф. данной функции. Д. н. ф. с указанным свойством называется минимальной. Число букв R в ней равно.

Под минимизацией булевой функции понимают нахождение ее минимальной д. н. ф. Различные способы решения этой задачи описаны в специальной литературе 129—32]. Алгоритмы минимизации систем булевых функций с успехом используются в задачах распознавания образов, позволяя классифицировать и выражать в сжатом виде поступающую информацию и использовать ее для распознавания новых ситуаций [33].

Постановка задачи построения булевой модели ФХС. Технологический процесс характеризуется п варьируемыми параметрами х_1% х₂, .. ., х_п и целевой функцией у. Исходный массив экспериментально-статистической информации располагается в виде таблицы, содержащей п столбцов для параметров х₁, х₂,….. ., х_п, столбец для целевой функции унт строк, следующих друг за другом в порядке их реализации на объекте. Рабочий диапазон каждой переменной х_{ и целевой функции у делится на две части точкой разделения (медианой) так, чтобы в каждую из частей попадало примерно одинаковое число значений переменных из общего количества т. После этого каждая строка таблицы получает двоичный код, где «О» соответствует x_i или у из нижнего уровня, а «1» — из верхнего уровня относительно медианы разбиения. В результате операции квантования таблица исходного массива информации преобразуется в таблицу (типа табл. 2.3) задания некоторой булевой функции с той разницей, что в данном случае полный перебор строк обычно неизвестен или недостижим.

Задача построения булевой модели ФХС состоит в восстановлении по полученной таблице булевой функции в минимальной дизъюнктивной нормальной форме. Если полный перебор строк возможен, то задача минимизации тривиальна и реализуется любым из существующих алгоритмов 129—32). Если полный перебор недостижим или неизвестен (например, в случае большого числа переменных), то приходится ограничиваться некоторым приближением к минимальной д. н. ф. булевой функции. Число переборов можно существенно сократить за счет учета дополнительной информации о свойствах объекта таких, как непрерывность изменения переменных, направленность (одномерность) этого изменения и т. п.

Описание алгоритма [34, 35]. Таблица исходного массива информации квантуется на два уровня, как указывалось выше. Каждая «рабочая» строка, соответствующая заданному («своему») значению целевой функции у, сопоставляется со «строкой сравнения», относящейся к «чужому» у, т. е. значению у на другом уровне. При этом запоминаются различающиеся разряды в рабочей строке. Далее эти сравнения производят во все расширяющейся окрестности, состоящей из строк сравнения, и из исходного списка разрядов кода рабочей строки вычеркиваются все совпадающие, кроме последнего (по ходу операций сравнения с новыми строками). Помечаются «чужие» строки, которые содержат выделенное значение параметра. Затем вышеописанные операции повторяются, но строками сравнения уже служат помеченные строки. Процесс сравнения продолжается до тех пор, пока будет выделено такое сочетание параметров, которое отсутствует в чужих строках. Выделенное сочетание параметров записывают в виде импликанта я%х%… х’г, что соответствует следующему выражению: «для данного уровня целевой функции у характерно совместное наличие переменных х?_{у sjj, …, х':». Аналогично выделяют импликанты для всех строк данного уровня у. Выделепные импликанты классифицируют по рангу в зависимости от частоты их появления в своем классе (разряде) целевой функции. Построение булевой модели ФХС сводится к выбору минимального количества наиболее часто встречающихся импликантов так, чтобы они покрывали все строки таблицы, принадлежащие своему у.

Возможно, что квантование исходного массива информации на два уровня, которое подробно рассмотрено здесь для наглядности изложения идеи алгоритма, может оказаться слишком «грубым», чтобы адекватно представлять поведение ФХС. В этом случае необходимо более дробное разбиение параметров и целевой функции на отдельные уровни, причем схема процедуры минимизации полностью сохраняется.

Одно из преимуществ булева анализа перед классическим факторным анализом состоит в том, что алгоритм построения булевой модели, реализованный на ЭЦВМ, позволяет за приемлемое время обрабатывать обширные массивы экспериментально-статистической информации при больших размерностях задачи (порядка 1000 переменных).

Проверка адекватности модели. Мера несоответствия модели объекту строится следующим образом. Вычеркивается первая строка из квантованной таблицы и определяется булева модель для оставшихся т—1 строк. С помощью этой модели опознается уровень у, соответствующий вычеркнутой (экзаменационной) строке, для чего в модель подставляются конкретные значения параметров вычеркнутой строки и выполняются все операции согласно правилам алгебры логики (2.31). Затем первая строка восстанавливается и из таблицы вычеркивается вторая строка и т. д. Общее количество неправильных ответов относится к числу «экзаменов» т. Полученный результат принимается за среднюю меру неадекватности булевой модели объекту.

Интерпретация булевой модели ФХС. Изложенный алгоритм представляет как бы «генератор» гипотез (импликантов), которые перечисляются через «или». Для интерпретации этих гипотез необходимо обратиться к содержательным теориям или физикохимическим представлениям, которые объясняли бы наблюдаемые взаимодействия параметров, входящих в полученные импликанты. Если отдельные выводы представляют интерес, то либо повторяют обработку па большем массиве данных, либо производят более дробное разбиение существующего массива и повторяют анализ.

Булева модель ФХС с соответствующей физико-химической интерпретацией сама по себе представляет определенный интерес. Кроме того, булев анализ сложных физико-химических систем может оказаться полезным перед постановкой активного эксперимента, планирование которого облегчается тем, что предыдущим анализом отсеяны несущественные параметры и выделены взаимодействия, которые необходимо учесть в дальнейшем.

Пример построения булевой модели ФХС. Рассмотрим применение методики на примере исследования процесса синтеза метаиола, проводимого в промышленном реакторе полочного типа с цинк-хромовым катализатором [36].

Экономичность процесса в значительной море определяется количеством примесей и главным образом воды в метаноле-сырце. Основная группа реакций процесса имеет вид.

Здесь все реакции, кроме (2.38) и (2.39), экзотермичны. Содержание воды в метаноле-сырце зависит от сложного взаимодействия многих факторов: качества сырья и катализатора, температуры и давления, соотношения Н₂/СО в газах циркуляции, нагрузки по газу и т. п. Большое число параметров (более 30). определяющих ход процесса, сложность кинетики образования побочных продуктов исключают непосредственпое применение методов многофакторного анализа, в частности, эволюциоппого планирования эксперимента. С практической точки зрения представил бы определенный интерес предварительный качественный анализ влияния технологических параметров па образование побочных продуктов и в первую очередь воды.

Выпишем информацию, необходимую для построения булевой модели, в следующем порядке: название параметра, его размерность (в скобках), обозначение и медиана разбиения рабочего диапазона изменения параметра па два уровня.

Пробег (сутки). 77, 200; давление (ат), Р, 300; температура первой полки (°С), Т_х, 320; температура последней полки (°С), Т_г, 383; средняя температура (°С), Т_с, 363; максимальная температура (°С), Т_м, 384; состав свежего газа (% по объему): СО_а, С_у, 4.4; СО, С₀, 24,7; //₂. С_ш, 68,2; СН₄, С_м, 2,3; 7V_a, С_А, 0,1; соотношение Н₂/СО, А, 2,75; состав циркуляционного газа (% по объему): С0₂, С*, 0,8; СО, С*, 7,0; Н₂, СЦ, 72.0; СН₄, С*, 20,0; N_a, С*. 20,0; соотношение Н₂/СО, А*, И; объемная скорость (тыс. нм³/час), G, 25,0; нагрузка по газу основного хода (тыс. нм⁸/час), G₀, 85,0; нагрузка по свежему газу (тыс. нм³/час), G_c, 12,5; нагрузка, но продувочному газу (нм³/час), G_u, 700; концентрация воды в метанолесырце (%), С_ья, 11,5.

Булева модель процесса, построенная по данным 48 режимов нормальной эксплуатации реактора (т=48), имеет вид.

Здесь конъюнкции расположены слева направо в порядке убывапил частоты их повторения в кваптоваппой таблице. Черта пад буквой значит, что параметр принимает значение из нижнего интервала разбиения.

Модель (2.40) расшифровывается так: «содержание воды в метанолесырце меньше 11,5%, если максимальная температура в реакторе не превосходит 384° С, концентрация СО в свежем газе превышает 24,7% и нагрузка по свежему газу выше 12,5 тыс. нм³/час, или, если… фит. д. раскрывается содержание последующих конъюнкций.

Мера неадекватности модели составила 2%. Это значит, что при обучении на 47 режимах вероятность правильного прогнозирования 48-го режима составляет 98%.

Первая конъюнкция T_uC₀G_e характеризует наиболее часто возникающую ситуацию в отношении концентрации воды в метаноле. Конъюнкция «правильно» отображает взаимосвязь входящих в нее параметров: повышенное содержание СО компенсируется возрастанием расхода свежего газа из-за понижения температуры (охлаждения катализатора), когда основная реакция.

(2.32) в силу ее экзотермичности сдвигается в сторону образования метанола. Для уточнения интерпретации обращаемся к следующей конъюнкции Т_гС_мС_л. Сочетание факторов Т_г и С_ж — понижение температуры на выходе и повышение концентрации метана в свежем газе — не противоречит предыдущему обт.яснению. Понижение температуры под влиянием конвективного потока газа, содержащего повышенный процент метана, ведет к сдвигу влево экзотермической реакции (2.35), по которой в основном образуется вода и метан, и, следовательно, доля воды в метаноле должна уменьшаться (различие между Т_н и Т_г несущественно при построении интерпретации).

Весьма интересно появление во второй конъюнкции параметра С_л — пониженной концентрации азота в свежем газе. Согласно схеме (2.32) — (2.39) азот явно нс участвует в химизме процесса, однако его влияние может осуществляться через процессы адсорбции на поверхности частиц катализатора. Можно считать, что при прочих равных условиях освобождение поверхности катализатора от сорбированного азота равносильно увеличению адсорбции присутствующего в избытке СО (по сравнению с другими углеродосодержащимп веществами) и сдвигу реакций (2.32) — (2.37) вправо, а основной реакции (2.38), дающей воду, — влево. Эта интерпретация, соответствующая второй конъюнкции, также расшифровывает причину вхождения именно С₀ в первую конъюнкцию: увеличение по любым причинам адсорбции СО способствует снижению С_ад, например, за счет уменьшения вхождения в реакцию С0₂ (37].

Аналогичным образом интерпретируются остальные конъюнкции булевой модели (2.40).