Корреляционные методы определения динамических характеристик линейных объектов

Во многих случаях методы идентификации объектов путем анализа функций отклика на искусственные детерминированные воздействия (типа импульса, ступенчатой функции, синусоиды и т. п.) не применимы по следующим причинам II1: часто невозможно точно определить динамические характеристики объекта по типовым входным сигналам, так как на выход системы оказывают влияние случайные неконтролируемые возмущения; нежелательно или невозможно подавать на вход объекта возмущающее воздействие специального детерминированного вида, так как это ведет к нарушению нормального хода процессов в объекте.

Возникает задача определения динамических характеристик объекта в режиме его нормальной эксплуатации.

В отсутствие помех связь между входным сигналом и (t) и выходным у (I) для объекта с весовой функцией К (t) определяется уравнением свертки:

При наличии помехи w (/) (см. рис. 6.6) вместо уравнения (6.23) справедливо следующее соотношение:

где h (т) — весовая функция объекта по отношению к помехе. Появление в правой части равенства (6.24) второго интеграла с неизвестными функциями w (t) и h (/) показывает, почему обычные нестатистические методы не дают возможности решать задачи идентификации при наличии помех. Единственными пригодными в этом случае методами определения динамических характеристик являются статистические методы.

Пусть Д"_иС0 — корреляционная функция эргодического стационарного случайного процесса u (t) на входе линейной системы.

Рис. 6.6. Схема объекта с одним входом н выходом при наличии помехи.

с постоянными параметрами, a R_yu (т) — взаимная корреляционная функция между входом и выходом, которая приближенно определяется соотношением.

С учетом выражения (6.24) равенство (6.25) примет вид.

Если внутренние шумы w (t) независимы от внешних воздействий и (*), то R_mi(z)=0 и равенство (6.26) при больших временах наблюдения Т сводится к соотношению.

которое по форме аналогично уравнению свертки (6.23). Это значит, что если на вход линейной динамической системы с весовой функцией К (<) подать сигнал и (t), совпадающий с корреляционной функцией и (t)=R_Mi (/), то на выходе этой системы должен появиться сигнал у (t)_y совпадающий по форме с взаимной корреляционной функцией у (t)=R_vu (t).

Предположим теперь, что сигнал на входе представляет собой «белый шум», корреляционной функцией которого является.

S-функция: R_m(x)= Цх). При этом соотношение (6.27) примет вид.

откуда следует, что если на вход системы подавать искусственное воздействие в виде «белого шума», то взаимная корреляционная функция между входом и выходом представляет искомую весовую функцию системы.

Таким образом, если объект допускает нанесение тестового возмущения в виде «белого шума», то проблема его идентификации сводится к вычислению его взаимной корреляционной функции.

Задача определения динамических характеристик объекта в режиме его нормальной эксплуатации, когда входное возмущение может рассматриваться как стационарный случайный процесс, сводится к решению более общего интегрального уравнения (6.27) относительно весовой функции К (?) и разбивается на три этапа: запись случайных процессов на входе и выходе объекта; вычисление корреляционной функции входного и взаимнокорреляционной функции входного и выходного сигналов; решение уравнения (6.27) относительно К (t).

Запись реализаций случайных процессов на входе и выходе объекта и их статистическая обработка для вычисления корреляционной и взаимнокорреляционной функций не представляет труда и может выполняться автоматизированно с применением специальных корреляторов [1]. Таким образом, задача идентификации объекта сводится к третьему этапу — решению интегрального уравнения (6.27) относительно неизвестной функции К (t) при известных функциях R_m (х) и Я_уа(т).

Существует несколько методов решения интегрального уравнения (6.27). Из них наиболее распространенными являются: метод, основанный на преобразовании Фурье; алгебраические методы; метод подбора на управляемом фильтре; метод моментов.

Рассмотрим кратко существо каждого метода.

Метод, основанный на преобразовании Фурье. При рассмотрении этого метода для большей общности будем полагать, что объект обладает постоянным запаздыванием которое предполагается заранее известным. Весовую функцию K_t(t) такого объекта можно представить в виде.

где К (t) — весовая функция того же объекта, но без запаздывания.

С учетом выражения (6.28) перепишем уравнение свертки (6.27):

Применим к обеим частям равенства (6.29) прямое преобразование Фурье. В результате получим.

Используя понятие спектральной плотности, последнее соотношение можно переписать в виде.

где.

Здесь S_pu (о>) — взаимная спектральная плотность входного и выходного сигналов; S_т (о>) — спектральная плотность входного сигнала; W (/со) — передаточная функция объекта без запаздывания.

Из равенства (6.30) следует, что передаточная функция объекта с запаздыванием.

определяется путем деления взаимной спектральной плотности S_w(со) на спектральную плотность З^Дсо):

В частном случае для объекта без запаздывания (*_а=0) имеем.

Обратное преобразование Фурье соотношения (6.32) определяет весовую функцию объекта без запаздывания:

Интеграл (6.33) может быть вычислен либо с помощью теории вычетов, либо графоаналитическим способом [1]. Математическая простота соотношений (6.31) и (6.32) определяет преимущество этого метода.

Рассмотренный метод допускает обобщение на случай, когда входной и выходной сигналы коррелированы с третьим эргодическим стационарным случайным процессом е (t), которым может быть помеха наблюдения v (t) или случайный сигнал с соседнего канала многомерного объекта. В этом случае решается более общее, чем уравнение (6.27), интегральное уравнение Фредгольма первого рода:

где /?_и,(т), R (т) — соответствующие взаимные корреляционные фупкции.

Алгебраический метод решения уравнения (6.27). В силу идентичности уравнений (6.27) и (6.1) способ решения уравнения (6.27) повторяет соответствующий метод решения интегрального уравнения (6.1), рассмотренный выше.

Метод подбора на управляющем фильтре [1]. Весовая функция ищется в виде последовательности ординат.

К (0), Я (Д), К(2Д), … ЛГ (/УД), разделенных друг от друга интервалом времени Д. Интеграл свертки (6.27) при этом записывается в виде суммы.

Отсюда видно, что свертка предполагает выполнение операций над прошедшими величинами входа R_m( т), поэтому существенной составляющей комплекса устройств, предназначенных для автоматизированного определения динамических характеристик объектов, является линия задержки управляемого фильтра (11. Текущие и прошедшие значения входной величины накапливаются в разделенной на участки линии задержки. С каждого участка снимаются сигналы, задержанные на определенную величину, и умножаются на соответствующие ординаты весовой функции К=К{п Д), которые подбираются оператором на пульте управления и затем суммируются для получения выхода Л*_и(т):

Подстройка коэффициентов К_п производится так, чтобы результирующий сигнал е (т)=/?_уи (т)—Л*(т) стремился к минимуму.

Корреляционная функция стационарного случайного воздействия на входе обычно имеет большой центральный пик и стремится к нулю (пли постоянному значению) по обе стороны от т=0 (т. е. является четной функцией). Поэтому каждый коэффициент К_п управляемого фильтра оказывает наибольшее влияние на взаимную корреляционную функцию в соответствующий ему момент времени. Это существенно облегчает оператору задачу вывода ошибки на минимум.

Настройка фильтра особенно эффективна в том случае, когда на вход объекта поступает тестовый сигнал, близкий к «белому шуму», для которого корреляционная функция Я_ыи(*) представляет собой 8-функцию, а искомая весовая функция почти совпадает с взаимнокорреляционной функцией. Поэтому каждый коэффициент управляемого фильтра в этом случае воздействует только на одну ординату выходной величины и в сравнивающем устройстве немедленно чувствуется результат данной настройки.

Метод моментов является весьма эффективным методом решения интегрального уравнения (6.27), который находит широкое практическое использование. Сфера применения метода моментов не ограничивается решением уравнений типа (6.27), поэтому представляется целесообразным рассмотреть этот метод отдельно, выделив его как самостоятельный метод идентификации динамических систем (см. § 6.5.).

П р и м е р. В результате статистической обработки реализаций входного и выходного сигналов стационарного объекта построены графически нормированная автокорреляционная функция входного сигнала /??., (х) н нормированная взанмнокорреляционная функция выходного сигнала относительно входного /?*" (х), а также определены среднеквадратическнс отклонения сигналов на входе и выходе системы о_л=0.33 и в_у=0.005. Графики функций R*u (т), R*_y (т) и R*" (т) приведены на рис. 6.7—6.9 [9 J.

По виду функций 7?", (т) и (т) подбираем соответствующие аппроксимирующие аналитические выражения:

На основании формул связи между нормированными и размерными кор реляционными функциями.

запишем соответствующие приближенные аналитические выражения для размерных корреляционных функций.

Рис. 6.7. Нормированная автокорреляционная экспериментальная функция входного сигнала /?"*(т).

Рис. 6.8. Нормированная автокорреляционная экспериментальная функция выходного сигнала 7?^(т)

Рис. 6.9. График взаимнокорреляционной экспериментальной функции вход кого и выходного сигналов (т).

Основное интегральное уравнение (6.27) для определения весовой функции объекта К (т) принимает вид.

решением которого является

График весовой функции К (т) (вместо 0 вводится т) без^{-функции} приведен па рис. 6.10. Передаточная функция объекта получается как результат применения преобразования Лапласа к аналитическому выражению для.

Располагая информацией о весовой функции К (х), можно вычислить оценку сигнала на выходе системы 0 (/) по известному входному сигналу и (/) на основании интеграла свертки:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 6.10. Весовая функция К (х) Если норма разности между истинным значением у (t) и его оценкой $ (t) велика (т. е. точность приближения неудовлетворительна), то задачу идентификации следует решать с учетом нелинейности объекта, осуществляя поиск оператора объекта в классе нелинейных операторов (см. § 8.2).