Критерий Фридмана. 
Математические методы в психологии

Критерий Фридмана можно рассматривать как распространение критерия Т Вилкоксона на три и большее количество измерений связной выборки испытуемых. Этот критерий можно рассматривать как аналог однофакторного дисперсионного анализа для связных выборок. Критерий позволяет установить уровень статистической достоверности различий сразу в нескольких измерениях (от 3 до 100) с помощью одной процедуры, но не дает возможности выявить направление изменений.

Задача 6.4. Шести школьникам предъявляют тест Равеиа. Фиксируется время решения каждого задания. Выясняется вопрос, будут ли найдены статистически значимые различия между временем решения первых четырех заданий теста?

Таблица 6.5

Решение. Результаты всех четырех измерений решения заданий теста в секундах приведены в табл. 6.5, в которой также произведено ранжирование всех измерений, но строкам и суммирование рангов по столбцам. Время решения задач в таблице обозначено как d — для первого задания и т. д. Ранги обозначены как Rt и т. д.

Расчет по критерию Фридмана требует выполнения следующих операций:

• 1. Ранжирование экспериментальных данных по строкам (горизонтально), т. е. по всем показателям для одного испытуемого. Это уже проделано в табл. 6.5.
• 2. Суммирование полученных рангов по столбцам табл. 6.5.

В столбце 3 получена сумма рангов, равная 11, в столбце 5 — равная 19,5, в столбце 7 — равная 11,5 и в столбце 9 — равная 18.

• 3. Подсчет общей суммы рангов: 11 + 19,5 + 11,5 + 18 = 60.
• 4. Подсчет суммы рангов по формуле (1.3):

Равенство полученных сумм подтвердило правильность ранжирования.

5. Определяем эмпирическое значение критерия по формуле:

где п — количество испытуемых или строчек; с — количество столбцов; R, — сумма рангов г-го столбца.

6. Подставляем в формулу (6.1) необходимые значения из табл. 6.5, получаем.

• 7. Знакомимся с правилами использования таблиц Приложения для нахождения критических значений критерия Фридмана:
  • а) при общем количестве измерений, равном 3, и числе испытуемых от 2 до 9 критические значения критерия Фридмана определяется по таблице 3 Приложения;
  • б) при общем количестве измерений, равном 4, и числе испытуем!, тх от 2 до 4 критические значения критерия Фридмана определяется по таблице 4 Приложения;
  • в) при большем количестве измерений и испытуемых критические значения критерия Фридмана определяется по табл. 11 Приложения для критерия хи-квадрат. В этом случае число степеней свободы определяется по формуле v = с — 1, где с — количество условий измерения (подробнее о критерии хи-квадрат в главе 8).

Замечание. Следует особо подчеркнуть, что таблицы для поиска критических значений критерия Фридмана отличаются от стандартных статических таблиц. Здесь уровни значимости р даны нетрадиционно, и поэтому каждый раз следует выбирать наиболее близкие значения к 0,05 и 0,01. Например, если бы были взяты первые три задачи, то соответствующие уровни значимости были бы таковы: 0,052 и 0,012.

8. По таблице 11 Приложения определяем величины критических значений Хфр. кр Для числа испытуемых, равного 6. Число степеней свободы определяется по формуле v = с — 1 или v = 4 — 1 = 3. Соответствующий блок табл. 11 Приложения представлен в табл. 6.6.

Таблица 6.6

Используя стандартную форму записи, получаем следующее выражение:

² ₌ [ 7,815 для р < 0,05,.

Хфр.кр { 11,345 дляр <0,01.

«Ось значимости» в этом случае имеет вид:

Полученное эмпирическое значение критерия Фридмана попало в зону незначимости. Следовательно, принимается гипотеза #о о сходстве времени решения первых четырех заданий теста, а гипотеза о наличии различий отклоняется.

Для применения критерия Фридмана необходимо выполнять следующие условия.

• 1. Измерение должно быть проведено в шкале интервалов или отношений.
• 2. Выборка должна быть связной.
• 3. В выборке должно быть не менее двух испытуемых, каждый из которых имеет не менее трех измеренных показателей. Верхний предел для количества испытуемых не определен, а количество измерений не может превышать 100 (см. табл. 11 Приложения).
• 4. В зависимости от числа измерений и количества испытуемых используются разные таблицы значимости (правила выбора таблиц см. выше).