Скорость. 
Прикладная физика. 
Механика. 
Электромагнетизм

Рассмотрим движущуюся точку. Ее положение в момент времени / определяется радиусом-вектором г (/), а в момент / -± Д/ —.

радиусом-вектором r (t + At). Вектор перемещения за время Д/ будет равен

Если время Дг мало, перемещение также мало, и при стремлении Д/ к нулю перемещение Дг также стремится к нулю, так что отношение Дг/Дс остается конечным и стремится к определенному пределу (это гарантируется законами природы, а не математикой). Этот предел называется скоростью точки:

Внимание! Формула (1.6) определяет вектор скорости в момент времени t в точке траектории r (t) (так называемая мгновенная скорость).

Смысл вектора скорости состоит в следующем. Если в момент времени t вектор скорости точечного объекта равен v (/) и он находится в точке r (t), то за достаточно малое время Д1 перемещение объекта будет равно.

(Если, к примеру, спидометр автомобиля показывает скорость 72 км/ч, можно утверждать, что за 0,1 с автомобиль сместится в направлении движения примерно на 2 м, что бы водитель ни делал.).

Рис. 1.2

Из определения (1.6) следует, что вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 1.2). Формула (1.7) служит основой экспериментального определения скорости движущихся тел.

В математическом анализе предел, обозначенный в правой части равенства (1.6), называется производной функции r (t), так что для вектора скорости имеем.

Задача 1.3. Точка движется по закону r (t) = kt²i, где к — некоторая константа. Найти скорость точки в момент времени I.

Решение. В момент времени t точка будет иметь координату x (t) — kt¹, а в момент t + М — координату

Изменение координаты Дх будет равно.

так что вектор перемещения равен Дг = /'Дх = / (2kt&t + kAt²). Далее имеем: Дг / At = i (2kt + kAt). Переходя к пределу при Д/—> О, получим v (t) = dr/dt = i -2kt. (Фактически, мы вычислили производную.).

Учитывая формулу (1.4), для вектора скорости можем написать.

откуда определяются компоненты вектора скорости. Для модуля скорости будем иметь.

Из формулы (1.7) находим |Дг| = |у|д/, или.

где мы обозначили через As модуль вектора перемещения. Отсюда усматривается смысл модуля скорости: он определяет расстояние, проходимое объектом за малое время At.

Задача 1.4. Точка движется так, как описано в задаче 1.2. Найти вектор скорости в момент времени t.

Решение. Имеем:

Задача 1.5. В условиях предыдущей задачи найти модуль скорости в момент времени t.

Решение. Имеем:

Видим, что модуль скорости меняется со временем. Однако, если А= В, модуль скорости постоянен: v = А ш. Как следует из решения задачи.

1.2, в этом случае точка движется по окружности радиусом А.

Задача 1.6. В условиях задачи 1.4 найти скорость в заданной точке траектории.

Решение. Мы видели (задача 1.2), что траекторией является эллипс с полуосями А и В. Из уравнения траектории можно найти момент времени, в который радиус-вектор принимает заданное значение. Подставляя время в выражение для скорости v (задача 1.4), получим ответ. Однако в данных условиях скорость можно выразить через координаты явно. Глядя на выражение для скорости и учитывая, что уравнения траектории имеют вид х = >4 sin со/, у = В cos со/, находим.

При этом (х/АУ + (у/В)² = 1. В частности, при х=0у=±5. В этих точках v = ±A (oi. Полезно нарисовать эллипс и проанализировать эти результаты.

Задача 1.7. Как мы видели, в условиях задачи 1.2 точка движется по эллипсу, т. е. по замкнутой траектории. Каково время одного «оборота»?

Решение. Нужно найти время Т, через которое точка вернется в исходное положение, т. е. вектор перемещения обратится в нуль. Имеем:

Это выражение обратится в нуль, если оба множителя при базисных векторах обратятся в нуль. Это дает уравнения sin со 7"= 0, cos со Т= 1. Отсюда Т = 2я/со. В качестве побочного результата проявился смысл постоянной со.

Выводы;

Скоростью называется вектор

dx dv dz .

с компонентами v = —, v = —, v = —. Модуль вектора dc d / dc.

скорости равен.

За малое время At вектор перемещения будет Дг = vAt, его модуль As = vAt.