Истинные координаты и квазикоординаты

При анализе вращающихся электромеханических преобразователей энергии вводятся новые переменные, позволяющие избавиться от периодических коэффициентов в возникающих дифференциальных уравнениях. Они называются квазикоординатами. Такое название обусловлено тем, что связь новых переменных ?, и действительных q, существует только через их производные.

причем полученные уравнения неинтегрируемы, и поэтому нельзя представить системы координат ^ через ц, и, соответственно, нельзя использовать уравнения Лагранжа или Гамильтона для составления уравнений движения.

В теории электрических машин важную роль играют преобразования Р. Парка и Г. Крона, которые вводят новые переменные, позволяющие представить контуры токов ротора и статора взаимно неподвижными. Например, известное преобразование а, (3 связывает новые токи /" и /р с действительными токами /'" и ц, следующими уравнениями:

показывающими, что новые переменные являются квазикоординатами по определению.

Доя составления уравнений Лагранжа в пространстве квазикоординат в общем случае необходимо выполнить ряд довольно сложных преобразований, которые приводят к новой системе уравнений Больцмана-Гамеля [25]. Но оказывается, что для квазикоординат, вводимых преобразованием Р. Парка и преобразованием Г. Крона, возможно непосредственное применение уравнений Лагранжа для составления уравнений движения.

В качестве примера рассмотрим электрическую машину, приведенную в примере 2.4. Полученные для нее уравнения движения содержат периодические коэффициенты, появление которых обусловлено взаимньш движением обмоток ротора и статора. Избавиться от них помогает следующее преобразование, которое представляет действительные токи ротора i" и ц через условные токи /" и ip:

Выражения для запасенной энергии и функция потерь с учетом приведенных выражений для токов преобразуются к виду.

Дтя функции энергии вращаюпщхся частей W и энергии в электрическом поле ко1 иене, а гора W_e имеем.

Мощность на зажимах приведенных обмоток должна равняться действительной мощности.

откуда найдем напряжения, выражая токи и ц, через новые переменные /'", ip:

Таким образом, внешними силами будут а функция Лагранжа запишется

На основе уравнения Лагранжа найдем уравнения движения по каждой независимой переменной у, О л, Qr, Q_a, Qp, учитывая, что.

Qa=‘A'Qb =‘в ит. д.:

Выражение для электромагнитного момента раскроется с учетом того, что.

и тогда получим.

Уравнения напряжений запишутся в обычном виде, так как где потокосцсплсния имеют вид.

Таким образом, получилась полная система уравнений как да действительных переменных, так и для квазикоординат без затрат усилий, связанных с переходом к уравнениям Больцмана Гамеля.

Причем процедура получения уравнений практически осталась неизменной.

Нет проблем и для составления уравнений движения на основе функции Гамильтона (2.28) для случая, когда вводятся квазикоординаты на основе преобразования Р. Парка. На рис. 2.14 приведен электромеханический преобразователь энергии, содержащий две симметричные обмотки на статоре, образующие двухфазную систему. На явнополюсном роторе расположена обмотка возбуждения, магнитная ось которой совпадает в продольной осью ротора cl. К зажимам обмотки приложено постоянное напряжение. Приведенная конструктивная схема соответствует простейшей модели синхронной машины. Здесь от положения ротора, определяемого утлому, изменяются собственные и взаимные индуктивности контуров.

Рис. 2.14. Двухфазный явнополюсный преобразователь энергии.

Функция Гамильтона в рассматриваемом случае представляет сумму энергий: кинетической W_k и запасенной в магнитном поле W, так как источники потенциальной энергии отсутствуют:

Раскрывая слагаемые, получаем или в более знакомом виде.

Здесь J — момент инерции вращающихся частей, приведенных к валу машины; L_A, L_B, Lf, L_AB, L_Af L_Bf — собственные и взаимные индуктивности обмоток (контуров) [8]:

При этом собственная индуктивность обмотки возбуждения Lf считается постоянной.

Мошдость, подводимая к преобразователю:

и, наконец, функция Рэлея (при r_A = r_B = r_s, X = 0).

наряду с функцией Гамильтона позволяет получить уравнения движения. Представляя производную Н

где учтена зависимость индуктивностей от угла поворота:

найдем уравнения движения по каждой независимой переменной. Выполняя операции, предписанные уравнением (2.29), получим уравнения напряжений (Q_k=i_k, k = А, В, f):

и уравнение движения ротора.

где.

причем.

т. e. механическая и электрическая сила определяется идентичными выражениями. (Заметим, что знак минус перед слагаемым, определяющим электромагнитный момент, поставлен в соответствии с замечанием, сделанным выше).

Переменные коэффициенты в полученных дифференциальных уравнениях обусловлены зависимостью собственных и взаимных индуктивностей обмоток от угла у. Чтобы избавиться от указанного существенного недостатка, Р. Парк [8] предложил заменить действительные токи в обмотках статора i_Af г в новыми токами /'</, i_q, связанными с исходными следующими уравнениями:

Эти выражения показывают, что новые координаты Q_d и Q₄ являются квазикоординатами по отношению к истинным, поскольку они неразрешимы относительно Q_A и Qb [8].

Физически предтагаемое преобразование предстаатяет замену действительных неподвижных обмоток статора подвижными, расположенными по осям ротора с/и q. Для возникающей системы обмоток, вращаюшдхся вместе с ротором, геометрия магнитной системы оказывается неизменной, и, следовательно, индуктивности обмоток (собственные и взаимные) будут величинами, не зависящими от углового положения ротора, характеризуемого углом у.

Уравнения в новых переменных получаются заменой действительных токов i_A и is на фиктивные:

что в конечном счете позволяет получить: для функции Гамильтона.

где L_d=l₀+l₂ L₄=l₀-I₂; для функции Рэлея (потерь).

Выражение для входной мощности Р_с найдем, представляя напряжения фаз через составляющие напряжений uj и и, приложенных к условньш обмоткам:

В результате получим.

причем выполняется условие.

Уравнениядвижения по каждой переменной t_k

найдем из уравнения сохранения энергии (2.16).

Учитывая при этом, что от производных токов ij, i_q

только слагаемые.

пройдут через «фильтр» частных производных, остальные окажутся равными нулю.

Таким образом, получим.

Здесь о = dy/dt = у — мгновенная скорость ротора; f_d = L_di_d + + L_adi_f; vjf_d = L_qi_q; vj/ _f = L_fif + L_adi_f- потокосцепления обмоток; L_d = /₀ + h; L_q = /₀ —12 ~ собственные индуктивности условных обмоток статора, расположенных по продольной и поперечной осям.

Полученная система уравнений (ее называют системой уравнений в осях d, q или уравнениями Парка-Горева) не содержит периодических коэффициентов, так как введение квазипеременных iи i_q привело обмотки статора к условно-неподвижным относительно обмоток ротора. Отличие от действительно неподвижных обмоток связано с появлением в уравнениях электродвижущих сил:

зависящих от скорости вращения ротора со.

Еще раз заметим, что выражения для сил, созданных магнитным полем — электродвижущих сил и механических сил (момента), находятся из идентичных уравнений.

Приведенные примеры показывают, что для широко используемых в теории электрических машин преобразований, вводящих квазикоординаты, возможно успешное использование функций Лагранжа и Гамильтона для составления уравнений движения. Указанное замечание относится и к методу симметричных составляющих [29], которые также являются квазикоординатами.