Общая постановка задачи оптимального управления

Задача синтеза оптимальных систем управления относится к классу задач оптимального управления и формулируется как вариационная задача. При этом кроме уравнения объекта управления должны быть заданы ограничения на управление и фазовый вектор, краевые (граничные) условия и критерий оптимальности.

Пусть уравнение объекта задается в нормальной форме:

или в скалярном виде:

где х = (х Х2 … х_п)^Т — фазовый вектор, и = (щ ц₂ • • • и_г)^т — управление, или вектор управления.

На вектор управления и фазовый вектор могут быть наложены ограничения в виде конечных соотношений — равенств и неравенств. Эти ограничения определяют допустимые множества значений, которые могут принимать эти векторы. Поэтому указанные ограничения в общем виде могут быть записаны в виде.

Здесь Ut, Xt — некоторые заданные множества, зависящие, вообще говоря, от времени, причем Ut С R^r и Xt С Я^п, т. е. U_r — подмножество r-мерного пространства, X_t — подмножество n-мерного пространства.

В (9.2) первое соотношение называется ограничением на управление, второе соотношение — ограничением на фазовый вектор или фазовым ограничением. Ограничения на управление и фазовый вектор в (9.2) представлены отдельно, т. е. они разделены. Однако они могут быть и не разделены. Поэтому в общем случае эти ограничения записываются в виде.

Краевые (граничные) условия — ограничения на фазовый вектор в начальный to и конечный t j моменты времени — также могут быть представлены в виде включения.

когда эти ограничения разделены, и в виде.

если они не разделены. Вектор х (?о) называют левым, а вектор х (?/) — правым концом траектории.

Критерий оптимальности, который является числовым показателем качества системы, задается в виде функционала.

Задача оптимального управления формулируется следующим образом: при заданных уравнении объекта (9.1), ограничениях на управление и фазовый вектор (9.2) и краевых условиях (9.3) определить такие программное управление u*(t) или управление с обратной связью u*(x (?), t) и фазовую траекторию х*(?), при которых критерий оптимальности (9.4) принимает минимальное (или максимальное) значение.

Дальше для определенности примем, что функционал (9.4) минимизируется. Задачу максимизации введением нового критерия J_H = = — J всегда можно свести к задаче минимизации. Управления u*(t) и и*(х (?),?) называются оптимальными управлениями, траектория х*(?) — оптимальной траекторией.