Уравнения напряжений машины и эаектромагнитного момента

В соответствии с приведенной схемой соединения обмоток (см. рис. 5.32), к зажимам которой подведено симметричное трехфазное напряжение, а к нулевым точкам подключен источник постоянного тока (внутренним сопротиатением которого пренебрегаем), уравнения напряжений для переменных состаатяюнщх получим согласно (5.79):

где каждое слагаемое, в свою очередь, равно.

и т. д. Подставляя в выражения (5.94) и (5.55) погокосцепления (5.91) и токи, с учетом (5.80) получим.

Уравнение для постоянной составляющей напряжения запишем согласно (5.76)

и после подстановки сюда (5.95) найдем.

При выводе уравнений (5.96) и (5.97) через изображающий вектор тока, положение которого определяется углом р, отсчитываемым от оси фазы А :

нетрудно установить, что сумма токов равна нулю, следовательно, это удовлетворяет условию (5.82).

Здесь полезно обратить внимание на следующее: уравнения (5.96) и (5.97) по форме аналогичны уравнениям синхронной неявнополюсной машины, хотя эти машины по конструкции совершенно различны. В нашем случае роль тока возбуждения играет постоянный ток, который протекает по неподвижной обмотке якоря и создает ЭДС вращения за счет изменения проводимости при вращении ротора, тогда как в синхронной машине — за счет взаимного перемещения контуров. Но и в том и в другом случае возникновение ЭДС связано с механическим перемещением, т. е. их природа одинакова. Этим обстоятельством объясняется и формальное сходство уравнений.

Формальная аналогия индукторных двигателей с классическими машинами позволяет применить хорошо разработанные методы общей теории к их исследованию. Один из таких подходов связан с использованием изображающих (результирующих) векторов для представления фазных переменных — токов, погосцеплений, напряжении. Их физический смысл заключается в том, что в машине результирующее потокосцепление, момент, мощность и т. д. создаются совместным действием отдельных фаз, т. е. работа машины обусловлена интегрирующим действием сс отдельных элементов.

Введение

новых переменных позволяет упростить вид уравнений, обеспечивает наглядность перехода от координатной системы к другой. Последнее обстоятельство играет важную роль при построении математической модели системы и сс структурной схемы. Хотя все это и рассматривалось ранее (глава 4), для целостного изложения мы повторим некоторые преобразования, учитывая специфику индукторных двигателей.

Мгновенные составляющее фазных величин связаны соответствующим изображающим вектором:

где /(А) = i_s cosp и т. д., и (А) = u_s cos Pi и т. д.

Рис. 5.46. Взаимное положение систем координат а, р.

Проекции изображающего вектора на фазные оси дают мгновенные значения фазной величины. Его положение в пространстве определяется углом pi,.

отсчитываемым от оси фазы А, как показано на рис. 5.46. С ней же совмещена и ось вещественных чисел.

Уравнения для фазных напряжений имеют вид.

Умножим первое уравнение на 2/3, второе и третье — соответственно на 2а/3 и 2а²/з и сложим их левые и правые части:

Отсюда видно, что.

Здесь изображающий вектор потокосцспления _s представляет результирующее noTOKociусиление, созданное токами отдельных фаз, и, как нетрудно показать, ему соответствует уравнение.

которое после подстановки операторов поворота преооразуется к вилу.

После подстановки последнего выражения в (5.98) имеем.

В соответствии с координатной системой, приведенной на рис. 5.46, изображающие векторы выражаются через вещественную и мнимую составляющие.

тогда после подстановки посте, днях в уравнение (5.97) получим откуда после разделения на вещественные и мнимые части найдем.

Дтя контура нулевой составляющей тока /'о, подставляя в (5.97) ток.

(см. рис. 5.44), получим уравнение напряжений.

Все приведенные формы уравнения напряжений получены для неподвижной системы координат и по существу связаны с переходом от трехфазной системы к двухфазной. Но, как показывает опыт, более удобной является вращающаяся координатная система, привязанная к ротору. Здесь в установившемся режиме все переменные будут скалярными величинами. Для классических машин она называется системой d, q, 0 и жестко привязана к ротору. В нашем случае также возможно введение подобной системы, но с тем принципиальным отличием, что она будет жестко привязана к волне проводимости, которая вращается в пространстве со скоростью бегущею поля машины, т. е. в Zilp раз быстрее, чем ротор. Эго явление вызвано двусторонней зубчатостью зазора.

Из характера изменений штлукгивностей и потокосцеплений отдельных фаз следует, что продольная ось ротора d проходит через точки с максимальной и минимальной проводимостью, поперечная ось ц будет опережать ее на угол я/2. Как видно из рис. 5.47, положение ротора в пространстве характеризуется углом Z₂y, а изображающего вектора тока — углом р (углы отсчитываются от неподвижной оси фазы А, с которой совмещена и ось вещественных чисел).

В синхронном режиме работы, когда ротор вращается со скоростью со = coi/Z|, а изображающий вектор i, — со скоростью, задаваемой частотой питания со: = 2nf, нетрудно установить, что предлагаемая координатная система d, q вращается с синхронной скоростью (Оь В самом деле, имеем.

Рис. 5.47. Простраiictbciиioc положение неподвижной и вращающихся систем координат Пулевая постоянная составляющая тока /о, которая в нашей модели выполняет роль тока возбуждения, жестко привязана к продольной оси ротора d.

Таким образом, введенная система координат делает рассматриваемую машину идентичной синхронной машине классического исполнения, хотя их внутренняя природа, напомним, является различной.

Дтя перехода к новой системе координат представим изображающий вектор в неподвижной (а, р) и вращающейся (d, д) системах. Как нетрудно установить, дтя первой (в системе а, Р) имеем.

дтя второй (в системе d, д)

Угол а/., в свою очередь, связан с положением ротора С учетом последнего уравнения запишем.

Аналогичная связь получится и для других переменных — напряжений и потокосцеплений:

На основе полученных связей преобразуем уравнение напряжений (5.98) для основной гармоники. Для этого согласно (5.103) необходимо умножить все члены уравнения на exp (-jZ₂y):

Если учесть, что v|/_v = y_xre^jZri, то (5.104) легко преобразуется к уравнению.

которое записано для переменных в системе координат ротора d, ц. Здесь со = dy/dt — действительная механическая скорость ротора.

Так как каждый вектор может быть представлен через продольную и поперечную составляющие.

то из векторного уравнения (5.105) получим два, приравнивая вещественную и мнимую части возникающего уравнения:

где 0 — угол между вектором напряжения и поперечной осью q (см. рис. 5.47).

Уравнение напряжений для постоянной составляющей преобразуем аналогичным образом. Оно, как видно по форме (5.102), уже записано в системе координат ротора, так как ток k создает МДС, направленную вдоль продольной оси ротора d. Учитывая, что продольная и поперечная составляющие изображающего (результирующего) вектора связаны с мгновенными значениями фазных токов (см. главу 3):

для нулевой составляющей напряжения получим.

Последнее уравнение, как и остальные, соответствует половине машины, образованной параллельными ветвями, но если по току якоря они включены параллельно, то по току возбуждения /'о — последовательно. Поэтому напряжение источника возбуждения будет равно Uf= 2и<), соответственно,.

Приведем и уравнения напряжений в неподвижной системе координат а, р. Как было показано выше, для результирующего вектора напряжения и_Л справедливо уравнение u _v = i _sr_v +di jdt, откуда, учитывая, что

и приравнивая вещественные и мнимые части возникающего уравнения, получим.

Приведем, наконец, выражение для электромагнитного момента. Наиболее просто оно может быть найдено через изменение запасенной магнитной энергии (коэнергии). Ее значение равно.

Подставляя в это выражение погокосцепления (5.90) и (5.91) и дифференцируя по углу поворота, получим.

Рис. 5.48. Схема соединения обмоток трехфазного индукторного двигателя с выделенным нулевым проводом.

Здесь i_s — модуль изображающего вектора тока, определяемого половиной линейного тока машины. С учетом последнего замечания уравнение (5.99) окажется полностью идентичным выражению момента синхронной машины, причем число зубцов ротора Z₂ будет эквивалентно числу пар полюсов машины р. На основе выражения (5.112) момент можно представить через переменные во вращающейся и неподвижной системах координат:

Уравнения напряжений (5.108) и (5.109) и электромагнитного момента (5.113) аналогичны уравнениям синхронной неявнополюсной машины без демпферной обмотки и дают возможность исследования индукторных двигателей в установившемся и переходных режимах теми же методами, которые используются для анализа известных синхронных машин. Эти уравнения будут справедливы и для случая, когда ток возбуждения создается за счет включения диодов в полуфазы обмоток (рис. 5.48). Здесь наряду с основными гармониками токов и напряжений необходимо учитывать гармоники, возникающие из-за наличия нелинейных элементов — диодов.