Теорема Теллегена. 
Теоретические основы электротехники. 
Том 1. Электрические цепи

Пусть в некоторой схеме имеется п ветвей и узловая матрица ее [А]. Матрицу-столбец комплексно-сопряженных токов ветвей обозначим [/*], а матрицу-столбец комплексных напряжений на ветвях (включая ЭДС ветвей и падение напряжения на них) обозначим [Й_в].

В соответствии с законом сохранения энергии

Соотношение (3.80) можно записать так:

Но в соответствии с параграфом 2.35 [й_в] = [А]^г[ф], где [ф] — матрица-столбец потенциалов незаземленных узлов.

В свою очередь,.

Подставим (3.82) в (3.81):

В формуле (3.83) произведение [А][/*] физически выражает собой систему уравнений по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов схемы, составленную для комплексно-сопряженных токов ветвей.

Из (3.83) следует, что если в одной и той же схеме с неизменной [Л]-матрицей создать два режима, отличающихся сопротивлениями и ЭДС ветвей, и всем величинам, относящимся к первому режиму, присвоить один штрих, а ко второму — два, то.

Соотношение (3.84), получившее название теоремы Теллегена, справедливо и по отношению к режимам в двух разных схемах, лишь бы у них были одинаковые узловые [А]-матрицы.

Определение дуальной цепи

Две электрические цепи называют дуальными, если закон изменения контурных токов в одной из них подобен закону изменения узловых потенциалов в другой. В качестве простейшего примера на рис. 3.44 изображены две дуальные цепи.

Рис. 3.44.

Схема на рис. 3.44, а состоит из источника ЭДС Ё и последовательно с ним включенных активного, индуктивного и емкостного элементов.

(R, L, С). Схема на рис. 3.44, б состоит из источника тока j₃ и трех параллельных ветвей. Первая ветвь содержит активную проводимость ?_э, вторая — емкость С_э, третья — индуктивность L₃.

Для того чтобы показать, какого рода соответствие имеет место в дуальных цепях, составим для схемы на рис. 3.44, а уравнение по методу контурных токов:

а для схемы на рис. 3.44, б — по методу узловых потенциалов, обозначив потенциал точки а через ф_а и положив равным нулю потенциал второго узла:

Если параметры g₃, L₃, С_э схемы на рис. 3.44, б согласовать с параметрами R, L, С схемы на рис. 3.44, а таким образом, что.

где к — некоторое произвольное число (масштабный множитель преобразования), Ом², то.

С учетом равенства (3.88) перепишем уравнение (3.86) следующим образом:

Из сопоставления уравнений (3.85) и (3.89) следует, что если ток j₃ источника тока в схеме на рис. 3.44, б изменяется с той же угловой частотой, что и ЭДС Ё в схеме на рис. 3.44, а, и численно равен Ё, а параметры обеих схем согласованы в соответствии с уравнением (3.87), то при к = 1 Ом² закон изменения во времени потенциала ф_а в схеме на рис. 3.44, б совпадет с законом изменения во времени тока / в схеме на рис. 3.44, а.

Если свойства какой-либо из схем изучены, то они полностью могут быть перенесены на дуальную ей схему.

Между входным сопротивлением Z_HCX исходного двухполюсника и входной проводимостью Уду_ал дуального ему двухполюсника существует соотношение Z_HCX = /с7_дуал.

Из (3.88) получаем соотношение между частотной характеристикой чисто реактивного исходного двухполюсника Х_исх(со) и частотной характеристикой дуального ему тоже чисто реактивного двухполюсника Ь_дуал(ш). Действительно, так как Z_HCX =;Х_исх(со), а 7_дуал = -;Ъ_дуал(со), то Х_исх = -/сЬ_дуал(со), т. е. частотная характеристика дуального двухполюсника получается из исходной частотной характеристики путем опрокидывания ее относительно оси и деления на масштабный множитель к.

Каждому элементу исходной схемы (схемы с источниками ЭДС Ё и параметрами R, L, С) отвечает свой элемент эквивалентной дуальной схемы (схемы с источниками тока j₃ и параметрами g₃, С₃, L₃).