Упражнения к главе vi

.1. Разложить в ряд Лорана функцию е¹~^г при |лг|>1. _п .11 1,1 19 ,.

г 22* '242*

2. Разложить в ряд Лорана функцию -—— при | z | > 3.

_п 1. 5, 19. 65 .

°™-F+l3+F+!S+—;

• 2 2 -L 1
• 3. Определить особенности при г= оо для функций: ———, cos 2 — sin z. Отв. Существенно особые.
• 4. Обнаружить справедливость теоремы Вейерштрасса для функции e^lfz, исследуя ее значения на лучах, выходящих из нулевой точки в окрестности 2=. 0. Каково будет множество точек 2, в которых е^{Х г} = с_%сф 0?

Отв. Бесконечное множество, имеющее нуль предельной точкой.

5. Функции / {2) и f (2) имеют в точке г = а полюсы соответственно т-го порядка и л-го порядка. Что можно сказать о характере точки z = a для функций: a) f (z) ?(2), 6), в) /(2) + <�р (2)?

<�Р.

Owe. а) Полюс порядка т—п. б) Полюс порядка т — п, если т>л; если т < л, то нуль порядка л — ш, при т = п — правильную точку, в) Полюс порядка, равного наибольшему из чисел т, п; при т = п полюс порядка т или правильную точку.

• 6. Относительно степенного ряда f (z)=2* ^ап^гП известно, что изображаемая им функция /(2) имеет на окружности круга сходимости только одну особую точку zq — полюс первого порядка. Показать, что в этом случае
• ——? z₀ и, следовательно, -? г, где г—радиус сходимости.

^ап+ _ ^an+iI «_.

7. Внутри замкнутого контура С лежит другой замкнутый контур С₂— Функция /(г) есть аналитическая в области G между контурами С₂ и С>.

В этом случае можно положить:

где /| (z) — аналитическая функция внутри С_% a /₂(2) есть аналитическая функция вне С₂, включая бесконечно удаленную точку. Функции f_x(z) и /₂(2) этим разложением определяются однозначно с точностью до аддитивного постоянного. ._.

8. Разложить в ряд Лорана У (z — 1) z — 2) для |2/>2.

Отв. + у — ^ +.

где.

9. Разложить в ряд Лорана г-——* при 0<|а|<|2|<16| и для Ы>|Н.

отв. _!_ r.4-?!+f-_>+l + i+?, 4…] и.

а-Ь ¹ 2^{3 1} *3 ‘ z ¹ b ¹ Ь* ¹ J.

10. Разложить в ряд Лорана In при |г|>1.

Отв. Невозможно, так как функция не однозначна при |г|>1.

• 11. Какие особенности имеют функции:
• 1
• а) е^г при г = 0; б) sin __ ^ при 2=1; в) —— при z = 2ru?

Отв. а) Существенно особая точка; б) то же; в) полюс первого порядка.

• 12. Какие особенности имеют функции при 2= оо:
  • а); б) V{z- l)(z — 2); к е ^г'; г) д) sin

Отв. а) Существенно особая точка; б) полюс первого порядка; в) правильная точка; г) предельная точка полюсов; д) нуль первого порядка.

13. Какое существенное различие имеется между поведением действительной функции

и функции комплексного переменного w = e~^{l z}' в окрестности нулевой точки? Отв. Функция у и все ей производные при дг = 0 равны нулю. Кривая.

у — f (x) в нулевой точке имеет с осью х соприкосновение лучшее, чем любая парабола у = х^п. Функция w имеет в нулевой точке существенную особенность, т. е. стремится к любому наперед заданному числу, когда г 0.

14. Функция /(*) — аналитическая в окрестности г | >/? бесконечно уда;

г

лбиной точки. При каких условиях F (z)= f/(C)^C будет однозначной alias'.

Zo

литической функцией в области | z | > /?, если Zq и путь интеграции лежат в этой области? Что можно сказать о поведении F (z) в бесконечно удаленной точке из поведения f{z) в этой точке?

Отв. Когда а_₁ = 0 в разложении /(*) = 2a_nzn. Если это условие вы;

— 00.

полнено и f (z) при «г=оо имеет полюс порядка (5, то F (z) будет иметь полюс порядка (J-j-1; в частности, F{z) будет иметь полюс первого порядка, если /(г) при г— оо — правильная функция и ф 0.

Если f (z) при г = оо имеет нуль порядка, а (а ^2), то F (z) имеет нуль порядка, а — 1.

Если / (г) при z— оо имеет существенно особую точку, то F (z) — то же.

Если а_} Ф 0, то F (z) — а_х 1пг будет при |г|>/? однозначной аналитической функцией.

15. Плоский поток определяется характеристической функцией w=f{z). Найти траектории потока и указать направление течения в случаях:

a) w = z; б) w —; в) w = z -f- -i-.

Отв. а) у = const., слева направо; б) л:²=^, течение налево; в) у{х²—у²)—у =с (х²-}-у²), течение направо.

16. Определить скорости потока в случаях предыдущей задачи 15.

л .У² — 2ху

Отв. а) р=, 7 = 0; б) P = _{'_t+yt^; 9 = -_{xt_+y^;

«_ч _, , у² — х² __ 2ху

в) р — -t- _(д._{3 +} ^₂₎₂, q— _(д._{2 + у2)2}.

17. Характеристическая функция потока w = 1nz.

Определить траектории потока, их направление и скорость движения жидкости. Чем является для потока точка = О?

Отв. Считая z = ге^/е, уравнение траекторий будет: 0 = const.; движение направлено от точки? = 0, которая является источником. Скорость по величине равна -у и направлена от точки z = 0. Точка z = 0 есть источник потока.

18. Чему равно количество жидкости, вытекающей в единицу времени через замкнутый контур, окружающий точку z = 0 предыдущей задачи?

Отв. 2ир.

• 1
• 19. Характеристическая функция потока w = Inz.

Найти траектории потока, их направление и скорость движения жидкости* Чем является точка z = О?

Отв. Если z = re*⁹, то уравнение траекторий будет: г = const. Движение направлено против часовой стрелки. Величина скорости равна —. Точка z — О является вихрем.

20. Чему равна циркуляция потока вдоль замкнутого контура, окружающего точку «z = 0 предыдущей задачи?

Отв. 1.