РАСЧЕТ ВКЛАДА КУЛОНОВСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ЭНЕРГИЮ СВЯЗАННОГО ОПТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОНА ПРИМЕСНОГО 3d — ИОНА В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТРИЦАХ

Расчет вклада кулоновского взаимодействия оптического электрона примесного 3d — иона с электронами зоны проводимости.

(4.1).

(4.2).

(4.4).

Матричный элемент кулоновского взаимодействия оптического электрона примесного центра с электроном зоны проводимости.

(4.5).

Оптический центр — одноэлектронный, состояние связанного электрона — 3d1 (ион Ti3+, V4+ и т. п., выбран для того, что бы не учитывать взаимодействие электронов в d-оболочке, методы такого учета хорошо разработаны)[17]. Взаимодействие с зоной изучено слабо.

Начальное состояние: связанный электрон в состоянии 3d1, ,, квантовое число принимает значения от -2 до +2 с интервалом единица. Волновую функцию начального состояния выбираем в виде водородоподобной функции, поскольку ее уточнение незначительно влияет на числовые значения радиальной части матричных элементов.

(4.6).

где — радиальная часть волновой функции связанного оптического электрона,.

— сферическая гармоника,.

Щ — набор угловых координат .

Волновую функцию электрона зоны проводимости выбираем в виде плоской волны.

(4.7).

где — принадлежащий зоне Бриллюэна волновой вектор электрона.

Конечное состояние характеризуется значением.

(4.8).

для связанного электрона, и значением для плоской волны описывающей конечное состояние электрона зоны проводимости, которое также выбираем в виде плоской волны.

(4.9).

Основанием для такого выбора являются следующие соображения. При температурах, близких к комнатной, средняя скорость движения электронов составляет величину порядка м/с, поэтому время между двумя последовательными соударениями электронов с ионами составляет порядка с, что меньше времен продольной и поперечной релаксации оптического электрона примесного центра.

В соответствии с принципом Паули выбираем волновую функцию начального и конечного состояния системы двух электронов в виде антисимметризованного произведения волновых функций связанного электрона и электрона зоны проводимости.

(4.10).

. (4.11).

Тогда матричный элемент кулоновского взаимодействия электронов можно записать как разность кулоновского и обменного интегралов.

(4.12).

где.

(4.13).

— матричный элемент кулоновского взаимодействия, и.

(4.14).

— матричный элемент обменного взаимодействия. Следует, однако отметить, что при вычислении обменной части мы пренебрегаем эффектами корреляции электронов в зоне проводимости, т. е., рассматриваем взаимодействие оптического электрона с одним из электронов зоны проводимости. Такое одноэлектронное приближение примнеяется достаточно часто. Дело в том, что учет корреляционных эффектов представляет собой сложную задачу. Если уровни энергии электронов заполнены в соответствии с принципом Паули. Наличие такого влияния приводит к появлению у системы электронов дополнительной энергии, которая называется корреляционной энергией. Поскольку при конструировании мнгоэлектронной волновой функции она строится как антисимметричная комбинация одноэлектронных волновых функций, что обуславливает появление обменной энергии, то корреляционная энергия оказывается самым тесным образом связана с обменной энергией, что позволяет рассматривать их сумму как единую обменно-корреляционную энергию. 18] Обзор корреляционных эффектов в системе электронов приведен в соответсвующем параграфе настоящей работы.

Рисунок 4.1 — Фейнмановская диаграмма, описывающая кулоновское взаимодействие связанного 3d1-электрона с электроном зоны проводимости.

Рисунок 4.2 — Фейнмановская диаграмма, описывающая обменное взаимодействие связанного 3d1-электрона с электроном зоны проводимости.

Вычислим матричный элемент, для чего напишем разложение потенциала кулоновского взаимодействия электронов по сферическим функциям.

(4.15).

где , — меньшее и большее из двух величин и , — угол между векторами и, иполином Лежандра степени n, который можно представить в виде разложения в ряд по сферическим функциям.

. (4.16).

Для плоской волны используем разложение следующего вида.

где.

(4.18).

ифункция Бесселя полуцелого порядка, которая выражается через элементарные функции.

Учитывая также, что в сферических координатах, где, получаем следующее выражение для.

(4.19).

Полагаем, и обозначаем интеграл по через.

. (4.20).

Согласно [19].

(4.21).

далее,.

(4.22).

то, используя соотношение ортогональности для сферических функций.

(4.23).

получаем.

(4.24).

полагая в последней формуле, , получаем.

(4.25).

Используя приведенные выше формулы, находим.

(4.26).

тогда.

. (4.27).

на следующем этапе вычислений выполняем усреднение по направлению волнового вектора, для чего используем формулу.

. (4.28).

Поскольку.

(4.29).

то в формуле (4.27) остается только слагаемое с,. Следовательно,,. Тогда.

(4.30).

На следующем этапе вычислений усредним выражение для матричного элемента по величине вектора, считая его принадлежащим зоне Бриллюэна, т. е., пренебрегая процессами переброса. При усреднении предполагаем, что абсолютная температура полупроводника равна нулю, и зона Бриллюэна представляет собой шар с радиусом, равным волновому числу Ферми. Тогда.

(4.31).

Используя явный вид сферической функции Бесселя.

(4.32).

получаем.

(4.33).

Вычисляя последний интеграл.

(4.34).

получаем, что среднее значение сферической функции Бесселя равно.

(4.35).

Для дальнейшего вычисления используем явный вид радиальной части волновой функции 3d1- состояния.

(4.36).

где, а — боровский радиус.

Обозначим радиальную часть матричного элемента через.

(4.37).

где через обозначена функция.

Поскольку через обозначено большее из, , приведенный интеграл разбивается на два слагаемых.

(4.38).

где.

(4.39).

(4.40).

Тогда.

(4.41).

Используя таблицы значений коэффициентов Клебша-Гордана [19], находим.

.

получаем.

при или 2, и при.

Обозначая величину через B.

Тогда матрица энергий 3d1-электрона, взаимодействующего с электроном зоны проводимости, имеет вид :

В общем случае, секулярное уравнение имеет пять несовпадающих корней. Следовательно, в тетраэдрической позиции пятикратно вырожденный вырожденный 3d1 — ион расщепляется на пять синглетов, в отличии от октаэдрической позиции, в которой расщепление идет на два дублета и синглет.

Согласно общим принципам, всякое расщепление первоначально вырожденных уровней энергии связано с понижением симметрии. В данном случае выражение для матричного элемента кулоновского взаимодействия усреднено по направлению волнового вектора, что означает изотропное распределение электронов зоны проводимости, рассеянных на примесном центре. Казалось бы, эта изотропия не понижает первоначальную тэтраэдрическую симметрию, поэтому расщепления быть не должно. Однако, это не так. Дело в том, что элементарный акт взаимодействия оптического электрона с электроном зоны проводимости описывается гамильтонианом, симметрия которого представляет собой наложение аксиальной симметрии плоской волны и тэтраэдрической симметрии лигандов.

Рисунок 4.3 — Детальная картина расщепления энергетических уровней 3d1-электрона, обусловленная зоной проводимости Рассчитаем и оценим значения величин, расщепленных уровней энергии, показанных на рисунке 4.3.

,(4.42).

, (4.43).

где.

(4.44).

(4.45).

(4.46).

(4.47).

где арасстояние от центра тетраэдра до лигандов,.

bрасстояние от примесного центра до плоскости основания тетраэдра.

z-эффективный заряд лигандов.

e-заряд электрона Найдем величину расщепления. Используя явный вид радиальной части волновой функции 3d1-электрона.

запишем величину.

(4.49).

где.

(4.50).

в виде.

(4.51).

или.

(4.52).

Оценивая величину волнового числа Ферми qf как, где — концентрация электронов зоны проводимости, — полное число электронов, — объем полупроводника, можно заключить, что значение по порядку величины составляет, где — расстояние между атомами полупроводника. Следовательно,, поэтому в интеграле для можно положить.

(4.53).

Тогда.

(4.54).

где — гамма-функция Эйлера, равная 720 при, и. Окончательно,. Для вычисления величины, равной.

Заметим, что при больших r2 функция.

(4.56).

приближенно равна, т. е., представляет собой убывающую осциллирующую функцию, поэтому вкладом в величину можно пренебречь. Следовательно.

Или, с учетом соотношения, получаем.

где через обозначена постоянная Ридберга, равная 13.6 эВ, и? — боровский радиус. Тогда величина поправки к энергии оптического электрона составит величину порядка 10−4 эВ. Для регистрации такого расщепления требуются температуры порядка 1К.

Имеется основание считать, что вклад обменного взаимодействия мал по сравнению со вкладом кулоновского взаимодействия и не изменит качественно картину расщепления энергетических уровней 3d1-иона.