Представление эллиптических функций Якоби посредством функций тэта

В § 5 мы определили три эллиптические функции Якоби посредством •формул

тде.

Заменяя в этих формулах функции сигма через функции тэта, согласно формулам (69), (74) и (85), и выражая У е_х — е₈ из соотношения (94), мы получим:.

где.

В § 5 мы назвали модулем эллиптических функций Якоби число к, определив его условием k² — ^e<1. В силу формул (94) последнее равенство.

^е — ^е*

примет вид:

Введём ещё так называемый дополнительный модуль, определив его формулой:

Путбм сложения первого и третьего соотношений (94) и использования? второго из них, находим:

и, значит,

Формулы (99) и (100) определяют к² и tS* в виде квадратов некоторых однозначных функций от т, и мы можем принять:

Замечая далее, что ©! и 0₃ суть однозначные функции от т, мы должны |/7и У к¹ рассматривать таковыми же и можем принять:

огкуда гак как

Таким образом, формулы (97) примуг вид:

В § 5 были указаны периоды, нули и полюсы эллиптических функций Якоби. Используя*таблицу (90), дающую формулы приведения функций тэта, мы можем составить аналогичную таблицу для эллиптических функций Якоби.

С этой целью заметим, что прибавление к v слагаемого — или равносильно прибавлению к и слагаемого.

Отсюда, пользуясь основными соотношениями (103), получим из таблицы (90) для функций тэта таблицу (104), дающую формулы приведения эллиптических функций Якоби.