Доказательство предложения о соответствии границ

Прежде чем приступить к доказательству, мы должны будем отметить одно свойство областей, ограниченных замкнутыми кривыми Жордана, — свойство, которым эти области вполне характеризуются. А именно, любую граничную точку такой области можно соединить с любой внутренней или внешней точкой посредством некоторой жордановой дуги, которая не имеет с границей области других общих точек, кроме рассматриваемой. Мы не будем здесь приводить доказательство этой теоремы, относящейся к теоретико-множественной топрлогии. Укажем только простейший пример области, не обладающей этим свойством (граница такой области необходимо будет нежордановой кривой). Такую область можно получить, выбрасывая из квадрата 0<�л:<�М, 0<_у<1 точки бесконечного множества отрезков:

Оставшееся множество представляет собой область, граница которой состоит из периметра ABCD квадрата и всех указанных отрезков. Очевидно, что никакая граничная точка Ж, принадлежащая отрезку AD, не может быть соединена кривой Жордана с какой-либо внутренней точкой /V области. Действительно, допустив противное, мы должны считать ординату точки кривой, соединяющей точки N и Ж, непрерывной функцией некоторого параметра /, принимающей при i = t₀ значение у₀, равное ординате точки /V, а при t = t_x— значение y_v равное ординате точки Ж. Таким образом, когда i стремится к ордината точки кривой должна стремиться к пределу y_j9 что невозможно, так как она бесконечное множество раз должна принимать значения, ббльшие */з, и значения, меньшие ^1,₃.

Фиг. 140.

Точки границы области, которые можно соединить дугой Жордана с внутренней точкой области (эта дуга не должна иметь с границей области других общих точек, кроме данной граничной точки), называются достижимыми (изнутри) точками; точки, не обладающие этим свойством, — недостижимыми. В нашем примере точки отрезка AD недостижимые, а все остальные граничные точки достижимые. Упомянутое нами свойство областей, ограниченных жордановыми кривыми, можно сформулировать следующим образом: каждая граничная точка такой области достижима (изнутри и извне).

Фиг. 141.

Чтобы доказать теорему, сформулированную в начале этого параграфа, мы согласно п. 1 должны убедиться в равномерной непрерывности функции / (z) в области G и её обратной внутри единичного круга. С этой целью, допустив, что f (z) не есть равномерно непрерывная функция в области G, мы должны будем притти к противоречию. Как следует из п. 1, при таком допущении на границе области G, линии Жордана S, существует точка Я, которой соответствуют на окружности w | = 1 две различные точки Q' и отстоящие друг от друга на расстоянии, не меньшем 2а. Отметим на фиг. 141 эти точки, а также точки z_ny z_ny стремящиеся к точке Я, и им соответствующие точки w_n и w"_y имеющие пределами Q и Q" .

t «.

Расстояние между точками w_n и w_n мы можем считать всё время ббльшим а.

Принимая точку Я за полюс, введём полярные координаты г и О и с их помощью следующим образом определим принадлежащую точке Я последовательность друг в друга вложенных односвязных областей К_г> лежащих в G: произвольно выбранную постоянную точку Я₀ области О (например точку 2' = 0) соединим непрерывной кривой Z., лежащей в G, с точкой Я. (В силу сказанного выше это возможно, так как область G ограничена кривой Жордана.) Очевидно, эта кривая L, идущая от Р₀ к Р, будет пересекать окружность радиуса г с. центром в точке Я, если только /-<^Я₀Я. Идя по кривой/, в направлении от Я₀ к Я, мы встретим эту окружность, вообще говоря, несколько раз (быть может, бесконечное число раз). Отметим последнюю точку встречи кривой L с окружностью радиуса г и, отправляясь от этой точки, отметим по обе стороны от неё дугу с_г окружности до первой точки встречи этой дуги с границей S области G. Обозначим через К_г часть области О, ограниченную этой дугой радиуса г и той частью границы S, на которой лежит точка Я (фиг. 141).

Заметим, что, каково бы ни было е, е<^Я₀Я, точки 2?_{п и} ?_л должны быть, начиная с достаточно большого л, внутренними точками области K_t (фиг. 141). Действительно, допустив противное, мы придём к заключению, что бесконечное множество точек из последовательностей {2^} и {z_п) лежит внутри области О_е, получаемой из области G путём удаления всех точек К_е и внутренних точек дуги с_?. Так как Я есть граничная точка G, предельная для {/_п} и {^}, то отсюда будет следовать, что Я есть граничная точка для G_g. Поэтому точка Я одновременно принадлежит двум дугам, на которые концы с_е разбивают 5. Так как Я отлична от концов этих дуг, то Я должна быть кратной точкой для S, что противоречит определению жордановой кривой 5.

Пусть Q, и Q₂—-произвольно выбранные постоянные точки внутри единичного круга Г, а Я₁ и Я₂ — им соответствующие точки в области G. Соединим точку Q, с *о/, 2 с w" _n посредством линий Г и Г" так, чтобы обе эти кривые находились на расстоянии друг от друга не меньшем, чем а. Пусть R — такое число, что точки Я₁ и Я₂ лежат вне области K_R тогда образы линий и Г* пересекают дугу окружности, входящую в границу области К_г> при каждом г<^Я, если п достаточно велико, так как они соединяют точки Я. и Я., соответственно, с z' и г*.

Таким образом, на дуге с_г найдутся две точки z_x и z₂ такие, что.

где интеграл распространён на соответствующую часть z_{z₂ дуги с_г.

В анализе важное значение имеет так называемое неравенство Шварца, которым мы должны сейчас воспользоваться. Это неравенство состоит в следующем: пусть g и h — две действительные функции, определённые в одномерной или многомерной области Z), и dm—элемент интеграции D; тогда имеем:

Это неравенство немедленно вытекает из замечания, что квадратный трёхчлен относительно действительного параметра X, а именно,.

не может иметь отрицательных значений.

Применяя неравенство Шварца к интегралу правой части (51), положив при этом g— |/' (z) _y h= 1, получим:

или

Интегрируя последнее неравенство относительно г в пределах от г= 6 до r= R, найдём:

где последний интеграл распространён на всю область K_R и представляет площадь той области, котора является отображением K_R. Таким образом, заведомо имеем:

потому что тг есть площадь всего единичного круга, и окончательно получаем:

Это неравенство привело нас к противоречию, гак как при s О левая его часть неограниченно возрастает. Полученное противоречие й доказывает равномерную непрерывность функции / (г) в области G. Так как аналогичное рассмотрение может быть проведено для обратной функции, то и обратная функция будет равномерно непрерывной в области Т.

Другими словами, согласно п. 1 мы показали, что при взаимно однозначном и конформном отображении области G, ограниченной линией Жордана, на внутренность единичного круга Т границы S и 2 областей О и Т отображаются взаимно однозначно и непрерывно.