Базовые аксиомы ИП

Система базовых аксиом W в ИII может быть принята такой же, как и в ИВ. Однако к ней необходимо добавить аксиомы, учитывающие появление кванторов:

• (А4) говорит, что если Р (х) истинен для всех х, то он истинный и для некоторого у из этого же универсума (если все яблоки в данном ящике красные, то уж одно красное найдется всегда).
• (А5) говорит, что если найдется у, при котором Р (у) истинный, то верно, что найдется хотя бы один х, для которого предикат Р (х) тоже истинный (даже если х совпадает с у): если среди яблок в данном ящике нашлось одно сладкое, то уже существует, по крайней мере, одно сладкое.

Правила вывода в ИП.

Правила вывода R остаются прежними — правило подстановки и правило заключения, но они дополняются еще одним правилом, учитывающим свойства кванторов. Это правило называется правилом специализации. Суть его в следующем: если ППФ /хР (х) истинна и b — некоторая константа, то формула Р (Ь) также истинна, т. е. справедливо /хР (Ь) = Р (Ь). Пусть, например, имеются формулы /x (P (b) —> Q (x)) и Р (Ь). Если они истинны, то, применяя специализацию, имеем ряд теорем:

Разберем несколько примеров построения предикатов.

Пример 3.10

1. «А вы, друзья, как ни садитесь, все ж в музыканты не годитесь». Обозначим через л: — способ рассаживания музыкантов, у — качество исполнения, Р (х, у) — предикат, связывающий способ рассаживания и качество исполнения. Окончательная формула

2. «Кто не работает, тот не ест»:

Здесь х — человек; Р — предикатная константа РАБОТАЕТ, Е — предикатная константа ЕСТЬ.

3. «Болтун — находка для шпиона»:

где «роли исполняют»: х — болтун; у — шпион; Р — НАХОДКА.

4. Приведенный в начале подпараграфа пример силлогизма о Сократе можно переписать гак: для всех х, если х — человек, то х — смертен; Сократ человек; (следовательно) Сократ смертен. Обозначим через М «быть смертным», через Н «быть человеком». Мы приходим к следующей формуле:

Сократ здесь — индивидная константа.

5. «В каждом городе найдется краевед, который покажет достопримечательности»:

Если х — город (G), то найдется такой краевед (г/), ЖИВУЩИЙ В (5), который ПОКАЖЕТ (Р) достопримечательности (г).

Здесь к месту отметить некоторые особенности при переводе с живого языка на язык предикатов.

6. Имеется русская фраза: «Каждый студент учится». В логической интерпретации это можно отобразить следующей формулой:

где S — СТУДЕНТ; L — УЧИТСЯ.

7. Но вот есть другая фраза: «Некоторые студенты спортсмены». Ее логический эквивалент:

где Р — СПОРТСМЕН.

Фразы в п. 6 и 7 очень похожи, но замена прилагательного «каждый» на «некоторые» потребовала не только замены квантора V на 3, но и замену связки —> на л.

8. И еще. На один и тог же словесный текст часто можно написать разные формулы ИП, пользуясь разной степенью «детализации». Например, короткую фразу из п. 3 можно записать более подробно:

где М — ЧЕЛОВЕК; В — БОЛТУН, Р — НАХОДКА; у — шпион.

Упражнения

• 3.10. Попробуйте представить в виде предикатных формул следующие фразы:
  • • Кто весел, гот смеется.
  • • Кто-то привык за победу бороться.
  • • И никто ему по-дружески не спел.
  • • Всяк сверчок знай свой шесток.
  • • И никто не узнает, где могилка моя.
  • • Л девушке в семнадцать лет какая шапка не пристанет!
  • • Все цветы мне надоели, кроме роз.
  • • Есть многое на свете, друг Горацио, что и не снилось нашим мудрецам.
  • • Немногие вернулись с поля, не будь на то Господня воля, не отдали б Москвы.
• 3.11. Пусть L означает ЛЮБИТ, ц — цветы, к — конфеты, х—девушка. Переведите на русский язык выражения:

a) /xL (x, ц),.

b) ЗхЬ (х, к),.

c) ЗхЬ (х, к),.

d) 3x (L (x, ц) л L (x, к)),.

e) 3x (L (x, к) —"L (x, ц)).