Частотные динамические характеристики измерительного устройства

Переходная и весовая функции являются временными динамическими характеристиками (функциями времени). Они описывают реакцию ИУ на типовые ступенчатый и, соответственно, импульсный входные сигналы. Такие измерительные сигналы являются типичными для определенных групп И У. В частности, импульсный сигнал типичен для приборов, предназначенных для измерения кратковременно действующих величин. Такой сигнал возникает, например, при ударном воздействии. Ступенчатый сигнал типичен для приборов, с помощью которых измеряют величины, не изменяющиеся во времени. Такой сигнал возникает, например, при нагружении грузоприемной платформы весов (товарных, медицинских и др.) массой взвешиваемого груза. При проектировании подобных ИУ переходная и весовая характеристики оказываются первостепенными.

В свою очередь, частотные динамические характеристики, рассматриваемые ниже, оказываются первостепенными для тех ИУ, которые предназначены для измерения изменяющихся во времени физических величин, особенно таких величин, которые изменяются по гармоническому (или близкому к нему) закону (например, вибраций каких-либо объектов), когда.

где х_т, ы — соответственно амплитуда и частота измерительного сигнала.

Наличие в (5.41) единичного множителя 1 (?) означает, что гармонический сигнал поступает на вход ИУ в момент t = 0, который принимается за начало отсчета времени.

Определим соответствующий выходной сигнал И У y (t), полагая, что известна передаточная функция И У W (p). При этом будем считать, что амплитуда входного сигнала равна единице, т. е. х_т = 1, так как (вследствие линейности ИУ) в случае х_т Ф1 вместо y (t) получим x_my (t).

В этом случае, согласно (5.36), имеем.

где Отсюда видно, что выходной сигнал ИУ, соответствующий входному сигналу (5.41), описывается весьма сложной функцией времени t и частоты со. Однако с течением времени она приближается к более простой гармонической функции времени.

где — коэффициенты, которые в установившемся режиме зависят только от частоты входного сигнала со и не зависят от времени t. Действительно, при t —>°о получаем.

Поэтому в установившемся режиме измерений вместо (5.42) можно записать.

где А = А (со), (р = ф (со) — соответственно амплитуда и угол сдвига фазы установившегося выходного сигнала, зависящие от частоты со входного сигнала. Эти зависимости имеют вид.

Вместо (5.46) можно записать.

где при вычислении функции ср (со) необходимо учитывать правила (7.49). На рис. 5.7 показан процесс установления сигнала на выходе ИУ. Видно, что в переходном режиме имеет место сопротивление внешнему воздействию. Это проявляется в том, что, несмотря на нулевые начальные условия, в выходном сигнале имеются так называемые сопровождающие свободные колебания, которые с течением времени затухают. В зависимости от параметров И У характер этого затухания может быть различным (на рис. 5.7 затухание апериодическое), а его длительность соизмерима с длительностью переходного процесса t_n. В любом случае установившийся выходной сигнал И У оказывается гармоническим. Он имеет ту же частоту со, что и входной сигнал, но другие амплитуду А и начальную фазу ф, которые зависят от частоты со входного сигнала.

Рис. 5.7. Процесс установления гармонического сигнала на выходе ИУ:

x (t) — входной сигнал; y (t) — выходной сигнал;

Ууа (0 ~ установившийся выходной сигнал В формулах (5.47) и (5.48) используется комплексная частотная функция ИУ МД/со) (КЧФ), которую можно получить, если в выражении (5.7) принять р = гео, т. е.

Эту комплексную функцию частоты со можно записать в виде.

где С/(со), М (со) — соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики ИУ. Их можно вычислить по формулам.

где Л (со) и ф (со) рассчитываются по формулам (5.47) и (5.48).

Для физически реализуемых ИУ должно выполняться условие т < п. Если т >п, то, согласно (5.49), при неограниченном возрастании частоты входного гармонического сигнала амплитуда установившегося выходного сигнала ИУ (5.47) также неограниченно возрастает. В физически реализуемом устройстве этого быть не может. Случай т = п описан ниже на примере сейсмического виброметра (см. рис. 5.17).

Если в полярной системе координат для каждого значения частоты со в качестве радиус-вектора откладывать амплитуду А (со), а в качестве полярного угла — угол сдвига фаз ф (со), то получится кривая, которая называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой ИУ. В декартовой системе координат для получения этой кривой нужно по оси абсцисс откладывать значения функции [/(о), а по оси ординат — значения функции У (со) (см. рис. 7 приложения 2).

Функция, А = Л (ср) называется амплитудно-фазовой частотной функцией. Она является полной динамической характеристикой ИУ. Годограф этой функции называется амплитудно-фазовой характеристикой ИУ.

Модуль КЧФ (5.47) называется амплитудной частотной функцией ИУ, а ее график — амплитудно-частотной характеристикой ИУ (ЛЧХ). Аргумент КЧХ (5.48) называется фазовой частотной функцией ИУ, а ее график — фазово-частотной характеристикой ИУ (ФЧХ).

Физический смысл этих характеристик ИУ заключается в том, что они определяют параметры, А и ф установившегося гармонического сигнала (5.45), т. е. такого сигнала, который устанавливается на выходе ИУ при действии на его входе гармонического сигнала единичной амплитуды.

При экспериментальном определении частотных характеристик ИУ амплитуда входного сигнала х_т может отличаться от единицы. В этом случае вместо (5.47) нужно записать.

т.е. в общем случае АЧХ описывает изменение отношения амплитуд, а ФЧХ — угла сдвига фазы ф установившегося выходного сигнала ИУ относительно фазы входного гармонического сигнала в зависимости от частоты со этого сигнала.

Используя общее решение (5.42), можно описать процесс установления выходного сигнала И У. В частности, если частота со этого сигнала совпадает с резонансной частотой И У со_р, то процесс нарастания амплитуды выходного сигнала, называемый резонансом, в первом приближении происходит, но экспоненциальному закону (рис. 5.8).

В этом случае для огибающей выходного сигнала A (t) можно записать.

где А_р — резонансная амплитуда, т. е.

Точное решение (5.42) для квазистатического И У второго порядка в случае резонанса имеет вид

где? — относительный коэффициент демпфирования; со₀ — собственная частота И У. В этом случае.

т.е. резонансная частота со_р отличается от собственной частоты И У со₀, а резонансная амплитуда тем больше, чем меньше относительный коэффициент демпфирования.

Рис. 5.8. Форма выходного сигнала ИУ при резонансе С помощью (5.53) можно определить время t_z, по истечении которого огибающая выходного сигнала достигнет заданного значения A_z < А_р (рис. 5.8),.

2,3.

Например, если А_г = 0,9Л, то t_z = —-—, т. е., чем меньше произведение? со₀,.

qo)₀

тем больше время установления гармонического сигнала на выходе ИУ. Если? = 0,7 —1,2, го это время не превышает 2—3 периода входного сигнала.

Амплитудную частотную функцию ИУ с передаточной функцией (5.7) можно ппелставить в виде.

где В₀, В₂, В_2тА$, А₂,…, А_2п — постоянные коэффициенты, зависящие только от параметров ИУ. Из этой формулы видно, что квадрат АЧХ линейного И У представляет собой четную дробно-рациональную функцию квадрата частоты.

Из формулы (5.11) следует, что АЧХ позиционного ИУ можно записать в виде где К = Л (0) — коэффициент чувствительности ИУ; /^(ш) — безразмерная относительная (нормированная) амплитудная частотная функция ИУ, вычисляемая по формуле

Размерность АЧХ совпадает с размерностью коэффициента чувствительности ИУ.

Для позиционного ИУ функция Д)(со) обладает свойством Aq (0) = 1. Ее график называется относительной амплитудно-частотной характеристикой ИУ. Этот график и график обычной АЧХ (5.57) подобны.

На рис. 5.9 показаны возможные формы этого графика для квазистагических И У относительно невысокого порядка, у которых т = 0, п < 3.

Рис. 5.9. Типовые формы АЧХ квазистатических ИУ:

1 — резонансная (одногорбая); 2 — пологая (монотонная); 3 — двугорбая; 4 — идеальная Чем выше порядок характеристического уравнения ИУ, тем более разнообразными оказываются возможные формы АЧХ. Так, в зависимости от значений параметров в квазистатическом ИУ третьего порядка возможны все показанные на рис. 5.9 формы АЧХ, в квазистатическом ИУ второго порядка — только пологие и одногорбые АЧХ, а в квазистатическом ИУ первого порядка — только пологие.

Известна формула, связывающая переходную функцию ИУ минимально-фазового типа с его частотными характеристиками.

Вычисление переходного процесса с использованием этой формулы лежит в основе так называемого метода трапеций [20].

Фазо-частотная характеристика И У минимально-фазового типа связана с амплитудно-частотной характеристикой такого ИУ преобразованием Гильберта.

где и = ln (w* / со); со* — переменная интегрирования, имеющая размерность круговой частоты. Отсюда следует, что АЧХ минимально-фазового И У А (со) является его полной динамической характеристикой.

Взаимосвязь полных динамических характеристик измерительного устройства

Как уже отмечалось, все полные динамические характеристики ИУ (ДХИУ) связаны между собой. В табл. 5.2 приведены основные формулы, описывающие эту связь.

Для определения передаточной функции И У минимально-фазового типа W (p), соответствующей заданной АЧХ А (со), удобно пользоваться двумя соотношениями.

где р = гео.

Пусть, например, АЧХ имеет вид.

Таблица 5.2.

Взаимосвязь полных динамических характеристик ИУ.

Тогда, используя (5.61), получим.

Определение дифференциального уравнения ИУ, соответствующего заданной передаточной функции W (p), описано в подпараграфе 5.2.2.

Таким образом, зная какую-либо полную динамическую характеристику, можно определить любую другую (полную или частную) динамическую характеристику ИУ.