Теорема взаимности. 
Теория электрических цепей. 
Часть 1

При изучении методов формирования уравнений электрического равновесия было установлено, что матрицы контурных сопротивлений и узловых проводимостей линейных цепей, составленных только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников тока или напряжения, являются симметричными относительно главной диагонали. Можно показать, что симметричность этих матриц не нарушится и в том случае, когда в цепи имеется произвольное число связанных индуктивностей. На симметричности матриц узловых проводимостей и контурных сопротивлений основано важное свойство линейных пассивных электрических цепей, которое формулируется в виде теоремы взаимности, или обратимости.

Рассмотрим линейную пассивную электрическую цепь, составленную из сопротивлений, емкостей и индуктивностей (в том числе и связанных).

В соответствии с теоремой взаимности контурный ток k-го контура линейной пассивной цепи_у вызванный действием единственного независимого источника напряжения, помещенного в i-й контур, равен контурному току i-го контура, вызванному действием того же источника напряжения, перенесенного из i-го контура в k-й, причем ориентация источника напряжения, помещенного в какой-либо контур, относительно контурного тока этого контура в обоих случаях принимается одинаковой.

Для доказательства теоремы выделим из исследуемой цени главные ветви k-vo и /-го контуров, а остальную часть цепи изобразим в виде четырехполюсника. Если независимый источник напряжения Е помещен в /-й контур (рис. 4.11, а), то в соответствии с выражением (4.11) контурный ток &-го контура.

Аналогичным образом находим контурный ток /-го контура, вызванный действием того же источника напряжения Е, перенесенного из 1-го контура в k-и (рис. 4.11, б):

Выражения (4.25) и (4.26) отличаются только порядком следования индексов в алгебраических дополнениях A_ik, и ДУчитывая симметричность матрицы контурных сопротивлений анализируемой цепи относительно главной диагонали, нетрудно прийти к выводу, что Д# = Д&, а следовательно, Ikk = 1ц.

Для случая, когда внешнее воздействие на цепь задается в виде независимого источника тока, теорема взаимности может быть сформулирована следующим образом.

Если независимый источник тока J, подключенный к какой-либо паре зажимов линейной пассивной цепи, вызывает

Рис. 4.11. К доказательству теоремы взаимности (внешнее воздействие задается в виде источника напряжения)

Рис. 4.12. К доказательству теоремы взаимности (внешнее воздействие задается в виде источника тока).

на другой паре зажимов напряжение U (рис. 4.12, а), то этот лее источник тока, подключенный ко второй паре зажимов (рис. 4.12, б), вызовет на первой паре зажимов то же напряжение U (ориентация источника тока относительно напряжения на зажимах, к которым он подключен, в обоих случаях принимается одинаковой).

Доказательство этой теоремы производится так же, как это было сделано при питании цени от независимого источника напряжения.

Если электрическая цепь удовлетворяет теореме взаимности (в любой формулировке), то говорят, что она обладает взаимностью (обратимостью). Электрические цепи, обладающие взаимностью, называются взаимными (обратимыми). Если электрическая цепь не обладает взаимностью, то она является невзаимной (необратимой). К необратимым цепям относятся, в частности, нелинейные цепи (элементы матриц контурных сопротивлений и узловых проводимостей таких цепей зависят от токов или напряжений ветвей) и цепи, содержащие зависимые источники (матрицы контурных сопротивлений и узловых проводимостей таких цепей, как правило, несимметричны относительно главных диагоналей).

Применение теоремы взаимности в сочетании с принципом наложения позволяет в ряде случаев существенно упростить расчет тока или напряжения какой-либо ветви электрической цепи, содержащей несколько независимых источников напряжения или тока.

Пример 4.11. Рассмотрим линейную электрическую цепь, содержащую N независимых источников напряжения Е, Е₂,

Е_х, Ем размещенных соответственно в ветвях 1,2,…, i,…, N. Определим ток k-YL ветви, не содержащей источников энергии.

Найдем сначала токи l^k 1^…, //* ветвей 1, 2,…, i,…, iV, вызванные действием некоторого дополнительного источника ЭДС Ek, помещенного в k-ю ветвь, при выключенных источниках Е, Ё₂,…" ?, …, ?_v. Далее в_в соответствии с теоремой взаимности найдем частичные токи /^, вызываемые в k-и ветви действием каждого источника в отдельности. Если бы ЭДС источника расположенного в z-й ветви, была равна Е то согласно теореме, взаимности частичный ток &-й ветви был бы равен Если ?, ^ ?*, то частичный ток &-й ветви, вызванный действием ЭДС ?, пропорционален 1^:

Суммируя частичные токи, вызванные действием всех независимых источников напряжения, находим.

Таким образом, анализ сложной электрической цепи, содержащей N независимых источников напряжения, свелся к определению токов ветвей более простой цепи, содержащей один независимый источник напряжения.